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Encuentre la magnitud del campo eléctrico en P debido a un seg- mento de la barra que tenga una carga dq: Encuentre el campo total en P usando4 la ecuación 23.11: Al notar que ke y l ϭ Q/ᐉ son constantes y se pueden verificar de la integral, evalúe la integral: Finalizar Si ᐉ tiende a cero, la ecuación 1) se reduce al campo eléctrico debido a una carga puntual, como se da por la ecuación 23.9,que es lo esperado porque la barra se encoge a tamaño cero. ¿Qué pasaría si? Suponga que el punto P está muy lejos de la barra. ¿Cuál es la naturaleza del campo eléctrico en tal punto? Respuesta Si P está lejos de la barra (a ϾϾ ᐉ), en tal caso se puede ignorar ᐉ en el denominador de la ecuación 1) y E Ϸ keQ/a2 . Ésta es exactamente la forma que esperaría para una carga puntual. Por lo tanto, avalores grandes de a/ᐉ, la distribución de carga parece ser una carga puntual de magnitud Q; el punto P está tan lejos de la barra que no es posible distinguir si tiene un tamaño. El uso de la técnica límite (a/ᐉ → ϱ) con frecuencia es un buen método para comprobar una expresión matemática. 4 Para realizar integraciones de este tipo, primero exprese el elemento de carga dq en términos de las otrasvariables en la integral. (En este ejemplo, hay una variable, x, así que se hace el cambio dq ϭ l dx.) La integral debe ser sobre cantidades escalares; por lo tanto, exprese el campo eléctrico en términos de componentes, si es necesario. (En este ejemplo, el campo sólo tiene una componente x, así que ese detalle no es preocupante.) Luego, reduzca su expresión a una integral sobre una sola variable (omultiplique integrales, cada una sobre una sola variable). En los ejemplos que tienen simetría esférica o cilíndrica, la única variable es una coordenada radial. dE ke dq x2 ke ldx x2 E / a a ke l dx x2 1) E ke Q / a 1 a 1 / a b keQ a 1/ a2 E ke l / a a dx x2 ke lc 1 x d / a a EJEMPLO 23.7 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme Un anillo de radio a porta una carga total po- sitivadistribuida uniformemente. Calcule el campo eléctrico debido al anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x de su cen- tro, a lo largo del eje central perpendicular al plano del anillo (figura 23.16a). SOLUCIÓN Conceptualizar La figura 23.16a muestra la contribución del campo eléctrico dE S en P de- bido a un solo segmento de carga en lo alto del anillo. Este vector de campo se puede resolveren sus componentes dEx paralelas al eje del ani- llo y dEЌ perpendicular al eje. La figura 23.16b muestra las aportaciones de campo eléctrico de dos segmentos en lados opuestos del anillo. Debido a la simetría de la situación, las componentes perpendiculares del campo se cancelan. Esto es cierto para todos los pares de segmentos alrededor del anillo, así que puede ignorar la componenteperpendicular del campo y concentrarse en las componentes paralelas, que simplemente se suman. Categorizar Ya que el anillo es continuo, se evalúa el campo debido a una distribución de carga continua en lugar de un grupo de cargas individuales. ux b) + + + + + + + + + + + + + + + + dE2 1 dE1 2 u a) + + + + + + + + + + ++ ++ ++ P dEx dE dE› x r dq a Figura 23.16 (Ejemplo 23.7) Anillo cargado de manerauniforme con radio a. a) El campo en P sobre el eje de las x se debe a un elemento de carga dq. b) El campo eléctrico total en P se encuentra a lo largo del eje de las x. La componente perpendicular del campo en P debida al segmento 1 es cancelada por la componente perpendicular correspondiente debida al segmento 2. Sección 23.5 Campo eléctrico de una distribución de carga continua 657Cap_23_Serway(2).indd 657Cap_23_Serway(2).indd 657 9/11/08 5:18:34 PM9/11/08 5:18:34 PM
658 Capítulo 23 Campos eléctricos Analizar Evalúe la componente paralela de una contribución de campo eléctrico de un segmento de carga dq sobre el anillo: A partir de la geometría en la figura 23.16a, evalúe cos u: Sustituya la ecuación 2) en la ecuación 1): Todos los segmentos del anillo realizan la misma aportación al...