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Propiedades algebraicas y de orden en N, Z, Q y R
Adem´s de las propiedades de N, Z, Q y R como conjuntos infinitos, es importante conocer a algunas propiedades relativas al orden usual (≤) en estosconjuntos, as´ como las estructuras ı algebraicas resultantes de considerar la suma y el producto usuales en Z, Q y R.

1.

N´ meros naturales, N u
La relaci´n de orden usual en N verifica lassiguientes propiedades: o a) Reflexiva: n ≤ n ∀n ∈ N.

b) Antisim´trica: si n ≤ m y m ≤ n, entonces m = n, para cualesquiera n, m ∈ N. e c) Transitiva: si n ≤ m y m ≤ p, entonces n ≤ p, paracualesquiera n, m, p ∈ N. En un conjunto cualquiera, una relaci´n que verifique las propiedades a), b) y c) se o denomina un orden en dicho conjunto. El orden usual de N verifica, adem´s: a d) Dados dos n´ merosnaturales cualesquiera n, m ∈ N, entonces ocurre que n ≤ m o u m ≤ n (o ambas). Una relaci´n de orden que verifique d) se denomina orden total. o

2.

N´ meros enteros, Z u

El orden usual de Z esun orden total, es decir, verifica las propiedades a)-d) enunciadas anteriormente. Por otra parte, la suma y el producto usuales de n´ meros enteros verifican lo siguiente: u 1. La suma es asociativa:(a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ Z. 2. Existe elemento neutro para la suma: a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ Z. 3. Todo elemento tiene un elemento opuesto para la suma: a + (−a) = 0, ∀a ∈ Z. 4. La suma esconmutativa: a + b = b + a, ∀a, b ∈ Z. 5. El producto es asociativo: (ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ Z. 6. El producto es distributivo respecto de la suma: a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ Z. 7. Existeelemento neutro para el producto: 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ Z. 8. El producto es conmutativo: ab = ba, ∀a, b ∈ Z. 1

§ ¦

Las propiedades 1-4 dotan a (Z, +) de una estructura algebraica de grupo.

¤ ¥En general, un grupo es un conjunto cualquiera dotado de una operaci´n interna que o verifique las propiedades 1-4.
§ ¦

Las propiedades 1-6 dotan a (Z, +, ·) de una estructura de anillo.

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