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3.1.6. Límites Infinitos y límites al Infinitos.

Límites infinitos
[pic]
     Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

 [pic]Crecimiento infinito:
[pic]
[pic]Decrecimiento infinito:
[pic]

 [pic]Teorema de límite 1:
[pic]

 [pic]Teorema de límite 2:
[pic]





Teorema delímite 3:
[pic]

 [pic]Teorema de límite 4:
[pic]
 [pic]Teorema de límite 5:
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| [pic]Ejercicios resueltos |
|  En los siguientes ejercicios, determine el límite infinito. |
|[pic]|[pic] |[pic] |
|[pic] | | |


[pic]
S o l u c i o n e s
 [pic]1. Solución:
[pic]

[pic]2. Solución:
[pic]
 [pic]3. Solución:
[pic]

 [pic]4. Solución:
[pic]TAREA: Calcular los siguientes límites:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]











Límites al Infinito
En lo que sigue vamos a estudiar los límites al infinito para diversas funciones.
Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinadoc. Aquí nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.
Ejemplo 1. Crecimiento ilimitado de x.
Sea [pic], nos preguntamos:
a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente?
b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamosvalores negativos de x cada vez "más abajo")
Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.
a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la gráfica:
Tabla 1
|Hacia [pic]|
|x |10 |100 |1000 |10000 |100000 |
|f(x) |3,125 |2,091836 |2,009018 |2,0009 |2,00009 |
|Hacia 2 |

Con la tabla 1 comprobamos quea medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión "x crece sin cota" se simboliza con [pic]y se dice que x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe simbólicamente como
[pic]
b) Para comprobar la respuesta también construiremos una tabla de valores.
Tabla 2
|Hacia [pic]|
|x |-10 |-100 |-1000 |-10000 |-100000 |
|f(x) |1,25 |1,911764 |1,991017 |1,9991 |1,99991 |
|Hacia 2|


Nuevamente, a partir de la tabla 2 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión "x decrece sin cota" se simboliza con [pic]y se dice que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe simbólicamente como:
[pic]
Podemos dar una definición informal para estas situaciones.
|Definición. Límites al infinito...