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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática

Tesis de Licenciatura
Modelos Matemáticos para la Valuación de Derivados
Financieros

Manuel Maurette

Director: Dr. Pablo Amster

Diciembre de 2006

A Lucy...

i

Agradecimientos
A mi mamá y a mi papá por su apoyo constante durante toda la carrera.
A mi familia cercana: Pablo,Lion, Dalmi y Dolores y a los gatos.
A los de adentro: los Nico, Ignacio, Javier, Chechu y Magui con quienes transcurrí
estos años en el Pabellón I.
A los de afuera: Sebi, Santi, Juli, Fer y Titi. Con quienes transcurrí estos años
fuera del Pabellón I.
A Fabio y a Susana por hacerme, con sus materias motivadoras, amigar con la
matemática.
A Pablo por conar en mi, hacerme conocer el mundo dela matemática nanciera
y por todo lo que viene.
A todos los que me conocen!

ii

Índice
1. Introducción nanciera

1

1.1.

Nociones básicas y glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.

Hipótesis sobre los mercados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.

Derivados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

4

1.4.

Un ejemplo para jar ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. Valuación de Derivados: Modelo Discreto

10

2.1.

Contrato forward

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.

Paridad Put-Call

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.

El modelo de Arrow-Debreu

2.4.

ModeloBinomial para la valuación de una Call

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .

3. El camino al modelo continuo: Árbol Binomial

11
15

18

3.1.

Un método recursivo para valuar derivados . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2.

Valuación de una Call mediante el Árbol Binomial . . . . . . . . . . .

22

3.3.

Variación de crecimiento

. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4.

Volatilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.5.

El paso al límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.6.

La fórmula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4. Modelo Continuo

29

4.1.

Procesos Estocásticos . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2.

Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.3.

Un modelo simple para el precio de un activo

. . . . . . . . . . . . .

32

4.4.

Análisis de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.5.

Integrales estocásticas

4.6.

La Ecuación de Black-ScholesdX

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Solución de la ecuación de Black-Scholes

iii

35
39

43

5.1.

Valuación de una Call Europea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.2.

Análisis de la fórmula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.3.

Valuación de un bono y uncontrato Forward . . . . . . . . . . . . . .

51

5.4.

Variaciones y Continuaciones de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . .

52

6. Modelo numérico y un caso particular: Opciones con costos de transacción
54
6.1.

Hedging discreto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6.2.

Diferencias Finitas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

6.3.

Un algoritmo para la valuación con costos

iv

. . . . . . . . . . . . . . .

59

Resumen
La idea del trabajo es mostrar y desarrollar diversos modelos matemáticos que se
usan a la hora de valuar derivados nancieros. El primer capítulo es una introducción
para aquellos que no están familiarizados con los términos económicos con los que
se trabajará a lo largo del...