hola

INTERPOLACIÓN Y DIEZMADO
Temas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS
Señales unidimensionales

Señales multidimensionales

Diezmado:

Diezmado:

Objetivo:

Objetivo:
G
G
Una señal discreta ψ [ n ] toma valores en n ∈ ] m . El objetivo es generar una nueva
G
G
G
señal discreta ψ D [ n ] = ψ [ nD ] , donde nD son los puntos de un retículo de diezmado,

f D [ n ] = f [ nD ] ,donde D es el factor entero de diezmado.

Λ D , definido en ] m .

Modelo:

Modelo:
Sea una estructura de muestreo entera definida por el retículo:

, señal de muestreo

m
G
G
G G
G
⎧G
⎫
Λ D = ⎨nD ∈ ] m / nD = ∑ ki ⋅vi , ∀ki ∈ ] ⎬ , donde {v1 , v2 ,..., vk } forman una base de ] m .
i =1
⎩
⎭

Expresado en forma matricial, Λ D = {n D ∈ ] m / n D = V ⋅ k , ∀k ∈ ] m } , dondemuestreo
cada D

V = [ v1 , v 2 ,..., v k ] es una matriz generatriz del retículo.

Señal de muestreo:
p [ n] =

Señal de muestreo:
G
G G
p [ n ] = ∑ δ [ n − nD ] , o en forma matricial, p [n ] =

∞

∑ δ [ n − kD ]

G
nD ∈Λ D

k =−∞

∑ δ [n − V ⋅ k ]

k∈] m

Esta señal puede interpretarse, de nuevo, como un tren de deltas desplazadas sobre los
puntos de una estructurade muestreo definida por el retículo Λ D . Por analogía con el

, (ejemplo con D = 3 )
Esta señal puede interpretarse como un tren de deltas desplazadas sobre los puntos de
una estructura de muestreo definida por el retículo Λ D = {nD ∈ ] / nD = k ⋅ D, ∀k ∈ ]} ,

caso 1D, puede interpretarse que p [n ] es periódica de periodo fundamental V ( Λ D ) y
densidad de muestreo d ( Λ D ) .

cuyacelda de Voronoi, V ( Λ D ) , es precisamente el periodo fundamental [ − D 2, D 2] ,
y cuya densidad es precisamente la frecuencia de muestreo: d ( Λ D ) =
Señal muestreada: f p [ n ] = f [ n ] ⋅ p [ n ] =

1
= fD .
D

∞

∑ f [ n] ⋅ δ [ n − k ⋅ D ] = ∑ f [ n] ⋅ δ [ n − k ⋅ D ]

k =−∞

k ∈]

Señal diezmada: f D [ n ] = f p [ n ⋅ D ] = f [ n ⋅ D ]
Esta señal puede interpretarse comouna normalización del eje temporal de f p [ n ] por el
Jesús Bescós Cano

Señal muestreada: ψ p [n ] = ψ [n ] ⋅ p [n ] =

∑ ψ [n ] ⋅ δ [n − V ⋅ k ]

k∈] m

Señal diezmada: ψ d [n ] = ψ p [n D ] = ψ p [ V ⋅ n ] = ψ [ V ⋅ n ]
Esta señal resulta de normalizar la señal ψ p [n ] en las direcciones que indican los
Tema 2: Señales y sistemas multidimensionales

Temas Avanzados en Proceso deSeñales - TAPS
valor D , es decir, por la amplitud del vector que genera el retículo Λ D , de modo que si
f p [ n ] presenta valores no nulos en nD = k ⋅ D = nD , entonces n = nD D .

Análisis frecuencial:

Señal discreta original:
DTFT
f [ n ] ⎯⎯⎯
→ F (Ω)

vectores base del retículo, de modo que si ψ p [n ] presenta valores no nulos en
n D = V ⋅ k = V ⋅ n , entonces n = V −1 ⋅ n D .Análisis frecuencial:
Señal discreta original:
DSFT
ψ [n ] ⎯⎯⎯
→ Ψ (Ω)

La región en la cual se verifica Ψ ( Ω ) ≠ 0 , se denomina región de soporte de la señal

ψ [n ] .
Señal de muestreo:
DTFT
p [ n ] ⎯⎯⎯
→ P (Ω)
1 ∞
P (Ω) =
∑ δ (Ω − k ⋅ fD )
D k =−∞

La transformada P ( Ω ) puede interpretarse como un tren de deltas ponderadas por
d ( Λ D ) = 1 D , y desplazadas sobre lospuntos del retículo recíproco

Señal de muestreo:
DSFT
p [n ] ⎯⎯⎯
→ P (Ω) = d ( ΛD )

∑ δ (Ω − U ⋅ k )

k∈]m

, donde U es la matriz generatriz de Λ*D , es decir U = ( VT )

−1

Λ*D = {Ω ∈ \ / Ω = k ⋅ f D , ∀k ∈ ]} , cuya celda de Voronoi y periodo fundamental es el

intervalo [ − f D 2, f D 2] , y cuya densidad es la inversa de la del retículo Λ D :
d ( Λ*D ) = D .

Señalmuestreada:
DTFT
f p [ n ] ⎯⎯⎯
→ Fp ( Ω ) = F ( Ω ) ∗ P ( Ω )
Fp ( Ω ) =

1 D −1
∑ F (Ω − k ⋅ fD )
D k =0

Señal muestreada:
DSFT
ψ p [n ] ⎯⎯⎯
→ Ψ p (Ω) = Ψ (Ω) ∗ P (Ω) = d (ΛD )

∑ Ψ (Ω − U ⋅ k )

k∈]m

La transformada Fp ( Ω ) puede interpretarse como un sumatorio de D versiones de
F ( Ω ) ponderadas y desplazadas sobre los puntos del retículo recíproco Λ*D .

Jesús Bescós...