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Hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lotanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro.
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curvaabierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es unaconstante positiva.

Índice [ocultar]
1 Etimología. Hipérbole e hipérbola
2 Historia
3 Ecuaciones de la hipérbola
4 Ecuaciones en coordenadas polares
5 Ecuaciones paramétricas
6 Véase también
7 Elementos de la hipérbola
7.1 Eje mayor
7.2 Eje menor o imaginario.
7.3 Asíntotas
7.4 Vértices
7.5 Focos
7.6 Centro
7.7 Tangentes
8 Referencias
9 Enlaces externos
Etimología. Hipérbole ehipérbola[editar]

Secciones cónicas.
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Véase también: hipérbole
Historia[editar]

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudiodel problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.3

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla elestudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola[editar]
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0,0) y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

x2a2−y2b2=1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1
Ejemplos:

a)

(x)225−(y)29=1
b)

(y)29−(x)225=1
Si eleje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.


Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos z, en el plano ReIm; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valorabsoluto de la diferencia de sus distancias |z−w1|−|z−w2|, a dos puntos fijos llamados focosw1 y w2, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea 2l ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda: |z−w1|−|z−w2|=2l
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadaspolares[editar]

Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda: Hyperbola2.png

r2=asec2θ

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

r2=−asec2θ
Hipérbola abierta de noreste a suroeste: Giperbola-ravnoboch.png

r2=acsc2θ
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

r2=−acsc2θ
Hipérbola con origen en el foco derecho:

r(θ)=a(ε2−1)1−εcosθ...