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Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a los postulados).1

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, comopunto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

En matemática se distinguen dostipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.



Índice [ocultar]
1 Etimología
2 Lógica 2.1 Axioma lógico 2.1.1 Ejemplo 1
2.1.2 Ejemplo 2


3 Matemáticas
4 Limitaciones de los sistemas axiomáticos
5 Véase también
6 Referencias
7 Bibliografía
8 Enlaces externos


Etimología[editar]

La palabra axioma proviene del sustantivo griego αξιωμα, que significa «lo que parecejusto» o, que se le considera evidente, sin necesidad de demostración. El término viene del verbo griego αξιοειν (axioein), que significa «valorar», que a su vez procede de αξιος (axios): «valioso» o «digno». Entre los filósofos griegos antiguos, un axioma era lo que parecía verdadero sin necesidad de prueba alguna.

Lógica[editar]

Artículo principal: Lógica proposicional

La lógica del axiomaes partir de una premisa calificada de verdadera por sí misma (el axioma), y de ésta inferir otras proposiciones por medio del método deductivo, de lo cual se obtienen conclusiones coherentes con el axioma. A partir de los axiomas, y de reglas de inferencia, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada.

Axioma lógico[editar]

Los axiomas son ciertas fórmulas en unlenguaje formal que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.

Ejemplo1[editar]

En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes:
1.ϕ→(ψ→ϕ)
2.(ϕ→(ψ→χ))→((ϕ→ψ)→(ϕ→χ))
3.(¬ϕ→¬ψ)→(ψ→ϕ),

donde ϕ, ψ, y χ pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entoncesp→(q→r) y (p→¬q)→(r→(p→¬q)) son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.

Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto deesquemas axiomáticos también se utiliza en el cálculo de predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo 2[editar]

Sea L un lenguaje de primer orden. Para cada variable x la fórmula x=x es universalmente válida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable x, la fórmula x=x puede considerarse axioma. Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nocionesprimitivas», primero se necesita una idea de lo que se desea expresar mediante x=x, o definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo =. De hecho sucede esto en Lógica matemática.

Otro ejemplo interesante es el de «instanciación universal» , mediante el cuantificador universal. Para una fórmula ϕ en un lenguaje de primer orden L, una variable x y un término t sustituible por x en ϕ,...