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Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES:
Una función es simétrica respecto del origen O(0, 0) cuando todo punto de la gráfica de f tiene
su simétrico respecto de O en la misma gráfica.

P ( x, f ( x))

f ( x)

−x
− f ( x)

x

P '( x ', f ( x '))

Si P( x, f ( x)) es un puntode la gráfica, su simétrico
P '( x ', f ( x ')) pertenece también a la misma gráfica:
Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y P '
son simétricos respecto del origen y sus coordenadas
⎧x ' = −x
verifican que ⎨
⎩ f ( x ') = − f ( x)
Por tanto,
Una función es simétrica respecto del origen O(0, 0)
cuando para todo punto x del dominio D se tiene que
− x pertenece a D y

f (− x)= − f ( x) .

Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES.
Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas
respecto del origen, éstas tienen todos sus exponentes impares.
Ejemplos de funciones simétricas respecto del origen:
ƒ

La función f ( x) =

1
x

ya que f (− x) =

1
1
= − = − f ( x)
−x
xSu gráfica como sabemos es (hipérbola equilátera) :

1
f ( x) =
x

ƒ

La función f ( x) = x 3 ya que f (− x) = (− x)3 = − x 3 = − f ( x)

ƒ

La función f ( x) = x⋅ | x | ya que f (− x) = (− x)⋅ | − x | = − x⋅ | x | = − f ( x)

FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS.

f ( x) = x 3

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Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio JuanXIII Zaidín de Granada

SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS (OY). FUNCIONES PARES:
Sea f : D → \ . Se dice que f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando
todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de OY en la misma gráfica.
Si P( x, f ( x)) es un punto de la gráfica, su
simétrico P '( x ', f ( x ')) pertenece también a la
misma gráfica: Si consideramos lasiguiente figura,
los puntos P y P ' son simétricos respecto del eje
OY y sus coordenadas verifican que

P ( x, f ( x))

P '( x ', f ( x '))

⎧x ' = x
⎨
⎩ f ( x ') = f ( x)

f ( x)
f ( x)

Una función es simétrica respecto del eje de

−x

x

ordenadas (OY) cuando para todo punto x del
dominio D se tiene que − x pertenece a D y

f ( − x) = f ( x ) .
Geométricamente significa quesi doblamos el papel por el eje OY, las dos partes de la
gráfica coinciden.
Estas funciones reciben también el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene
de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del eje OY, éstas
tienen todos sus exponentes pares.
Ejemplos de funciones simétricas respecto del eje de ordenadas:
ƒ

La función cuadrática f ( x) = x 2ya que f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f ( x) .

ƒ

La función valor absoluto

ƒ

La función f ( x) = x 2 − | x | ya que f (− x) = (− x) 2 − | − x | = x 2 − | x | = f ( x)

f ( x) = | x | ya que f (− x) =| − x | = | x | = f ( x)

Sus respectivas gráficas serían:

f ( x) = x 2

f ( x) = | x |

FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS.

f ( x) = x 2 − | x |

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JuanAntonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

FUNCIÓN PERIÓDICA:
Sea f : D → \ . Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo, T,
llamado PERIODO, tal que para todo x ∈ D , x + T ∈ D y se verifica que f ( x + T ) = f ( x) .
De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es 2T, 3T,...,
esdecir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre
de periodo principal o propio.
El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por
periodicidad toda la gráfica.
Ejemplos de funciones periódicas:
ƒ

Todas las funciones circulares:
Las funciones seno y coseno tienen por periodo T = 2π , mientras que la función...