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TEMA 12: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO



1.- Ecuaciones de la recta en el espacio.
2.- Ecuaciones del plano.
3.- Posiciones relativas de rectas y planos. Incidencia y paralelismo.



Introducción.

A lo largo de este tema vamos a estudiar cómo expresamos en coordenadas los conceptos geométricos de recta y de plano (conceptos que ya conocemos geométricamente, es decir a través dedibujos), para lo que utilizaremos los conceptos de sistema de referencia, de punto, vector, suma y multiplicación por escalares de vectores,... y posteriormente estudiaremos qué posición relativa ocupan entre sí (paralelismo, incidencia,....), para lo que utilizaremos lo estudiado en el tema de sistemas de ecuaciones. En el presente tema consideraremos siempre que nuestro sistema de refe-renciaestá formado por el origen de coordenadas y la base canónica ya conocida.




1.- Ecuaciones de la recta en el espacio.

Determinación de una recta.

Antes de empezar nos planteamos ¿qué debemos conocer de una recta para que ésta quede determinada?, es decir, ¿cuáles son los mínimos datos que deben darnos para que nosotros podamos decir que hay una y sólo una recta que cumple esascondiciones?

Para ello debemos partir de que dar una recta es dar una dirección y por tanto si conocemos un vector cualquiera que tenga esa dirección, ¿conoceremos esa recta? La respuesta es no, pues re-cordemos que los vectores son libres y así todas las rectas que son paralelas entre sí llevan la misma dirección, y ese vector puede caracterizar a todas esas rectas paralelas entre sí. Mefalta algo que caracterice a una cualquiera de esas rectas y eso lo conseguiremos imponiendo que pase por ‘algún sitio’, es decir dando un punto cualquiera de esa recta.

Así pues, a la hora hablar de una recta lo que necesitaremos conocer será un vector de esa recta y un punto. A ese vector lo llamaremos vector director de la recta. Dicho vector no es único pues cualquier múltiplo de él lleva lamisma dirección y así si es un vector director t• también lo es, para cualquier número real t.

Está claro que si me dan dos puntos A y B, estamos dando ya las dos cosas, es decir, la di-rección y un punto por el que pasa (mejor aún, ya que estamos dando dos puntos)

Por lo tanto, resumiendo, una recta queda determinada cuando se conocen:

- dos puntos A y B por los que pasa la recta, obien
- un punto A y un vector , llamado vector director, que tiene la misma dirección de la recta.

Está claro que ambas son equivalentes, ya que al conocer dos puntos, automáticamente podemos hallar el vector.

Nosotros vamos a considerar que estamos en el segundo caso, es decir, que conocemos un punto A y un vector director y a partir de aquí vamos a calcular su ecuación.Ecuación vectorial:

Sea r una recta definida por un vector director y un punto cualquiera de ella , tal y como vemos en la figura:

Nos preguntamos cuál es su ecuación, es decir,
qué debe cumplir un cuando un punto
para estar en esa recta.

Está claro que el vector debe ser múltiplo de

Esto se traduce en

Teniendo en cuenta que, tal como puede apreciarse, , si sustituimosen esta expre-sión por su valor, nos queda:



Obtenemos así la ecuación vectorial de la recta. Se llama vectorial porque la conocemos a través de los vectores de posición de cada uno de sus puntos.

Si tenemos en cuenta que estamos trabajando con el sistema de referencia y hallamos las coordenadas de los vectores de posición , que son respectivamente:


y sabiendoque , la ecuación se convierte en:



que es la ecuación vectorial de la recta expresada en coordenadas.

En esta ecuación, para cada valor que le demos a l, se obtiene un punto de la recta y si le damos todos los valores de los nº reales, se obtienen todos los puntos de la recta.


Ecuaciones paramétricas:

Las ecuaciones paramétricas de la recta son otra forma de expresar las...