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¿Por qué sólo hay cinco poliedros regulares? (RC-89)

I. Quirós (IES Victoria Kent, Torrejón de Ardoz)

Lo primero que hay que definir es qué es un poliedro regular. Llamamos así a aquellospoliedros (figuras volumétricas formadas por caras poligonales) en las que todas las caras son un mismo polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, ...). Teniendo en cuenta estadefinición, sólo existen cinco posibilidades. ¿Por qué? La respuesta está en la construcción de los vértices.
En un vértice de un poliedro regular confluyen un número fijo de caras poligonales y estas han deser tres como mínimo porque si son sólo dos, en lugar de un vértice lo que se origina es una arista. Pero también hay un máximo de caras posibles, pero este número depende del polígono
Vamos aestudiar primero el caso de caras triangulares. Para formar un vértice con tres caras, podríamos poner tres triángulos en un papel de la siguiente manera:

Para poder cerrar el vértice, además de lospliegues correspondientes, bastará con unir los dos lados rojos, de manera que “se levante” el vértice.
Lo mismo ocurre para vértices de cuatro y cinco triángulos

Pero si queremos hacer un vérticecon seis triángulos no podemos porque se completa todo el plano no quedando hueco para unir

Por lo tanto en un vértice sólo pueden confluir tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros.
Si lo queutilizamos son cuadrados, en un vértice sólo pueden confluir tres, porque si cogemos cuatro nos pasa lo mismo que con los seis triángulos, que se completa el plano y no queda hueco para unir y que selevante el vértice.

Y si lo que usamos son pentágonos, podemos todavía hacer confluir tres (queda un pequeño hueco) pero evidentemente nunca cuatro porque se montaría encima del primero.

Pero silo que usamos son hexágonos, tres de ellos ya completan el plano y no dejan hueco para juntar y levantar el vértice.

Obviamente tampoco se pueden hacer vértices con polígonos de más lados...