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Cap__tulo 7
Sistema Bidimensional
7.1. Sistema Cartesiano
La correspondencia entre pares ordenados de n_umeros reales y puntos en el
plano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596 - 1650), es lo que
planteamos en forma breve a continuaci_on.
De_nici_on
Sea un punto P(x; y) en el plano, (x; y) se llama par ordenado en que "x"
es el primer elemento del par e "y" el segundo, portanto; (x; y) 6= (y; x).
Sean dos rectas perpendiculares en el plano, su punto de intersecci_on se
acostumbra a llamar origen O, dichas rectas las llamaremos eje X y eje Y .
Sobre el eje X, consid_erese n_umeros reales y diremos que hay correspondencia
biun__voca con los puntos de dicho eje, an_alogamente sobre el eje Y .
Sea el O(0; 0) el origen O, en el eje X a la derecha de O colocamos losn_umeros reales positivos y su izquierda los negativos, con respecto al eje Y
los reales positivos por encima del origen O(0; 0) y los reales negativos por
debajo.
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Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 166
La intersecci_on del eje X y eje Y de_nen 4 cuadrantes que se acostumbran
a denotar como: I, II, III y IV. (ver _g).
Utilizando este esquema podemos asociar un par ordenado de n_umerosreales
(x; y) a cada punto P del plano y viceversa (correspondencia biun__voca entre
los puntos del plano y los pares ordenados (x; y)).
Por tanto para todo P(x; y) del plano cartesiano
"x" se acostumbra a llamar abscisa del punto P
"y" se acostumbra a llamar ordenada del punto P
(x; y) se acostumbran a llamar coordenadas de P
Del punto P(x; y) se trazan perpendiculares a ambos ejes, quede_nen: la
abscisa OA y de P igual a x y la ordenada OB de P igual a y. (ver _g.)
Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 167
Note que la abscisa y ordenada del origen son 0.
7.2. Distancia entre dos puntos
Dados los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) la distancia entre P1 y P2 est_a dada
por
d = p(x2 x1)2 + (y2 y1)2
Demostraci_on.
Notemos que las coordenadas del punto Q, son Q(x2; y1). PorPit_agoras en
el 4 P1 QP2, se tiene que:
d2 = jx2 x1j2 + jy2 y1j2
m
d = p(x2 x1)2 + (y2 y1)2
Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 168
7.3. Divisi_on de un Segmento en una raz_on
dada
Dados los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) que de_nen el segmento P1P2 y sea
dada la raz_on
P1P
PP2
=
m
n
= _; _ 2 R; _ 6= 1
entonces P(x; y)
x =
nx1 + mx2
n + m
=
x1 + _x2
1 + _
y =
ny1 + my2
n +m
=
y1 + _y2
1 + _
9>
>>=>
>>;
(2)
Demostraci_on.
De la geometr__a elemental las rectas P1A; PR y P2B intersecan segmentos
proporcionales sobre las dos transversales P1P2 y AB luego
Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 169
P1P
PP2
=
AR
RB
=
m
n ()
x x1
x2 x
=
m
n
() n(x x1) = m(x2 x) () (n + m)x = nx1 + mx2
() x =
nx1 + mx2
n + m
de aqu__ tambi_ense tiene
x =
x1 + m
n x2
1 + m
n
=
x1 + _x2
1 + _
an_alogamente para el caso de las ordenadas, se tiene
P1P
PP2
=
CQ
QD
=
m
n () y =
ny1 + my2
n + m
=
y1 + _y2
1 + _
Note que si el punto de divisi_on es interno a P1P2 entonces _ > 0, si en
cambio el punto es externo _ < 0
7.4. Coordenadas del Punto medio de un trazo
Notemos que si m = n o bien _ = 1; P(x; y)representa a las coordenadas
del punto medio del trazo P1P2, que es:
P _x1 + x2
2
;
y1 + y2
2 _
Ejemplo.
Sea A(2;3) y B(7; 1), determinamos P y Q tales que
1.
AP
PB
=
2
3
2.
AQ
QB
=
1
3
Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 170
Soluci_on.
1.
Aplicando x =
nx1 + mx2
n + m
=) x =
3(2) + 2 _ 7
3 + 2
=
8
5
e
y =
3(3) + 2 _ 1
3 + 2
= 7
5
por tanto: P _8
5
; 7
5 _
2.AQ
QB
=
1
3 ()
QA
AB
=
1
3
(ver _gura)
De la _gura, se tiene:
2 =
1 _ 7 + 3x
1 + 3
=) x = 5
3 =
1 _ 1 + 3y
1 + 3
=) y =
13
3
Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 171
7.5. Pendiente
Dado un segmento P1P2 mediante los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) la pendiente
del segmento P1P2 esta dada por
m = tg _ =
y2 y1
x2 x1
; x1 6= x2 (3)
si x2 = x1 se dice que el segmento...