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Ejercicios resueltos
Bolet´ 2
ın
Campo gravitatorio y movimiento de sat´lites
e

Ejercicio 1
En el punto A(2,0) se sit´ a una masa de 2 kg y en el punto B(5,0) se coloca otra masa
u
de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que act´ a sobre una tercera masa de 5 kg cuando se
u
coloca en el origen de coordenadas y cuando se sit´ a en el punto C(2,4).
u

Soluci´n 1
o
En una distribuci´nde masas la fuerza resultante que act´a sobre una de ellas es la
o
u
suma vectorial de las fuerzas con las que act´ an las dem´s masas sobre ella.
u
a
a) Al colocar la masa de m = 5 kg en O (0,0). Las masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg
interaccionan con la masa m = 5 kg con unas fuerzas que tienen de direcci´n el eje X y
o
sentido hacia las masas m1 y m2 .
Y

F2
O(0, 0) F1

X
A(2, 0)m1= 2 kg

B(5, 0)
m2= 4 kg

Aplicando la ley de gravitaci´n universal:
o
F = F1 + F2 =

G · m1 · m
G · m2 · m
m1 m2
i+
i=G·m
+2
2
2
2
r1
r2
r1
r2

i

Sustituyendo:

2
4
+ 2 i = 2,20 · 10−10 i N
2
2
5
b) Al colocar la masa m = 5 kg en C(2,4). Las fuerzas que act´ an sobre la masa m
u
tienen de direcci´n las rectas que unen la citada masa con las otras dos y porsentido
o
hacia las masas m1 y m2 .
F = 6,67 · 10−11 · 5

F1 =

6,67 · 10−11 · 2 · 5
G · m1 · m
(−j ) = −
j = −4,17 · 10−11 j N
2
r1
42

El m´dulo de la fuerza con la que act´ a la masa m2 = 4 kg es:
o
u
F2 =

6,67 · 10−11 · 4 · 5
G · m2 · m
√
=
= 5,34 · 10−11 N
2
2 + 4 2 )2
r2
(3
1

Y

C(2, 4)
ϕ

F2x
ϕ

F2y

F2

F1

O

B(5, 0) X
m 2= 4 kg

A(2, 0)
m1= 2 kg

De la figura se deduce que cos ϕ = 4/5 y sin ϕ = 3/5 por lo que las componentes de la
fuerza que ejerce la masa m2 son:
3
F2x = F2 · sin ϕ i = 5,34 · 10−11 · i = 3,20 · 10−11 i N
5
4
F2y = F2 · cos ϕ(−j ) = −5,34 · 10−11 · j = −4,27 · 10−11 j N
5
La fuerza resultante que act´ a sobre la part´
u
ıcula de masa m tiene de componentes:
Fx = F2x = 3,20 · 10−11 i N

Fy = F1 + F2y= −4,17 · 10−11 j − 4,27 · 10−11 j = −8,44 · 10−11 j N

Su m´dulo es:
o

|F | =

2
2
Fx + Fy =

(3,20 · 10−11 )2 + (8,44 · 10−11 )2 = 9,03 · 10−11 N

Ejercicio 2
Calcula el m´dulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia de 100 km sobre
o
la superficie de la Tierra. Datos: MT = 5,98 · 1024 kg, RT = 6370 km

Soluci´n 2
o
Aplicando la definici´n de intensidad del campogravitatorio y como la Tierra se como
porta como una part´
ıcula con su masa concentrada en su centro, se tiene:
G · MT
G · MT
g=
=
2
r
(RT + h)2
Sustituyendo:
6,67 · 10−11 · 5,98 · 1024
= 9,53 N/kg
g=
(6,37 · 106 + 105 )2
2

Ejercicio 3
Una part´
ıcula de masa m1 = 2 kg est´ situada en el origen de un sistema de referencia
a
y otra part´
ıcula de masa m2 = 4 kg est´ colocadaen el punto A(6,0). Calcula el campo
a
gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4) y la fuerza que act´ a sobre una
u
part´
ıcula de 3 kg de masa situada en el punto C.

Soluci´n 3
o
Aplicando el principio de superposici´n, el campo gravitatorio en un punto es igual a
o
la suma vectorial de los campos individuales que act´ an en ese punto.
u
Y

ur1

g1

O(0, 0)
m1= 2 kg

g2
B(3, 0)

ur2

X

A(6, 0)
m 2= 4 kg

a) Campo gravitatorio en el punto B(3,0).
g1 = −G
g2 = −G

m1
2
2
ur1 = −G 2 i = −G i
2
r1
3
9

4
4
m2
ur2 = −G 2 (−i) = G i
2
r2
3
9

Sumando:
gB = g1 + g2 = −G

2
4
2
i + G i = G i = 1,48 · 10−11 i N/kg
9
9
9

b) Campo gravitatorio en el punto C(3,4). El punto C est´ situado a la misma distancia
a
decada una de las part´
ıculas, aplicando el teorema de Pit´goras: d = 5 m. Los m´dulos
a
o
de los campos creados por cada una de las part´
ıculas son:
g1 = G

m1
2
2
=G 2 =G
2
r1
5
25

g2 = G

m2
4
4
=G 2 =G
2
r2
5
25

Teniendo en cuenta la figura para determinar las relaciones trigonom´tricas de los
e
respectivos ´ngulos y aplicando el principio de superposici´n, se...