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Departamento de Matemáticas
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ÁLGEBRA: Ecuaciones

3. ECUACIONES. 3.1. Introducción. Recordemos que el valor numérico de un polinomio (y, en general, de cualquier expresión algebraica) se calcula sustituyendo la/s variable/s por números (que, en principio, se nos proporcionan) y realizando las cuentas indicadas, con lo que obtenemos un númeroque es el llamado valor numérico del polinomio para esos valores de la variable. Por ejemplo:
p ( x) = - x 3 + x 2 − x + 1⎫ ⎬ ⇒ x = −2 ⎭ p ( −2 ) = ⎡ - x 3 + x 2 − x + 1 ⎤ ⎣ ⎦
x =−2

= -(-2 ) 3 + (-2 ) 2 - (-2 ) + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15
-x3 x+2 x2 -x 1

Realicemos la división

-x 3 + x 2 − x + 1 : x+2

-1 -1

1
2

-1
-6

1
14

-2

3

-7

15

Observemos que el valornumérico del polinomio p(x) en x=-2 [p(-2)], coincide con el resto de dividir dicho polinomio entre x+2 (dividir por Ruffini el polinomio donde queremos sustituir, poniendo como divisor el valor que vamos a sustituir). Esto NO es una casualidad, sino que es una propiedad que cumplen todos los polinomios de una variable y que se llama Teorema del Resto: “El resto dividir un polinomio p(x) entre unbinomio de la forma x-a es igual que el valor

⎛ p ( x) ⎞ numérico de p(x) para x=a, es decir, p(a)”: resto ⎜ ⎟ = p(a) ⎝ x−a⎠ ¿Por qué es tan importante esta propiedad de los polinomios? -Para empezar, nos proporciona otra forma de calcular valores numéricos de polinomios de una variable, que es bastante más cómoda puesto que consiste en realizar una división por Ruffini, mientras que el otroprocedimiento nos obliga a realizar una operación combinada con potencias, productos y sumas/restas. -Pero además, tiene otras aplicaciones. Veamos otra en un ejemplo:
*)

p ( x) = - x 3 + x 2 − x + 1⎫ 3 2 3 2 ⎬ ⇒ ⎡- x + x − x + 1⎤ x =1 = -(1) + (1) - (1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 ⎣ ⎦ x=1 ⎭
-x3 x-1 x2 -x 1

-x 3 + x 2 − x + 1 *) : x−1

⇒ - x 3 + x 2 − x + 1 = ( x − 1)·(− x 2 − 1) + 0 = ( x −1)·(− x 2 − 1)

-1 -1

1
-1

-1
0

1
-1

1

0

-1

0

© José Gallegos Fernández

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ÁLGEBRA: Ecuaciones

Como el resto de la división es cero o, lo que es lo mismo, al calcular p(1) hemos obtenido como valor numérico 0, al aplicar la prueba de la división hemos conseguido descomponer elpolinomio en dos factores. Por tanto, hemos conseguido escribir el polinomio de forma que la operación más importante no sea la suma, sino el producto, y esto tiene la misma importancia y las mismas aplicaciones (y muchas más) que conseguir descomponer un número en factores primos. Llegados a este punto es importante responder a las dos siguientes cuestiones: a) ¿cuáles son los polinomios primos(esto es, los que no se pueden descomponer)? b) ¿cómo localizar los números en los que el valor numérico del polinomio es 0? Otro ejemplo nos sirve para intuir la respuesta a la primera pregunta (y seguir comprobando el teorema del Resto):

[ x − 7 ]x =7 = 7 − 7 = 0

y
7

1 -1

7

⇒ x − 7 = 1·( x − 7 )

-7
0 -2
−3 2

[ −2 x − 3]x= −3 = −2 ·
2

−3 −3 = 3−3 =0 2

y

-3

3
-20

3⎞ ⎛ ⇒ − 2 x − 3 = −2·⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝

Por tanto, parece y, en efecto, así es, que podemos afirmar que los polinomios primos son los de primer grado con coeficiente líder 1. Posteriormente descubriremos que, trabajando en el conjunto de los números reales, aparecerán otros polinomios que tampoco se podrán descomponer, pero ya comentaremos eso más adelante. Así pues, encontrar los números cuyovalor numérico es cero no sólo nos sirve para descomponer el polinomio en factores, sino que, además, éstos son primos (ya que el divisor de la división de Ruffini siempre es un polinomio de primer grado con coeficiente líder uno). Luego, aún cobra mayor trascendencia, si cabe, dar respuesta a la segunda pregunta planteada. Para empezar, debemos decir que los números cuyo valor numérico es cero...