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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA SEDE SAN IGNACIO

4/Nov/2006

GUÍA N°7 Distribuciones de Probabilidad Variable Aleatoría Discreta Resumen 1.- Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento. 2.- Una distribución probabilistica es un listado o agrupación de todos los posibles resultados de un experimento y laprobabilidad asociada a cada uno de ellos. 2.1.- Una distribución probabilistica discreta puede considerar sólo ciertos valores. Sus características principales son: 1.- :" ÐBÑ  :# ÐBÑ  ÞÞÞ  :8 ÐBÑ œ " ß :3 ÐBÑ À probabilidades 2.- 0 Ÿ T ÐBÑ Ÿ " 3.- Los resultados son mutuamente excluyentes. 2.2.- Una distribución continua puede asumir un número infinito de valores dentro de un intervalo específico. 3.-La media(valor esperado de la distribución) y la varianza de una distribución se calculan como sigue: medía o valor esperado À . = E(x) = ! B3 ‡T ÐB3 Ñ
8 3œ"

Varianza

5 # œ ! ÐB3  .Ñ# ‡T ÐB3 Ñ
8 3œ"

4.- Distribución Binomial tiene las siguientes características 4.1.- Cada resultado se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes. 4.2.- La probabilidad de un éxitopermanece igual de un ensayo a otro. 4.3.- Cada ensayo es independiente 4.4.- La distribución resulta de un conteo de números de éxitos en una cantidad fija de ensayos. Guía N°7 Distribuciones de Probabilidad ; Prof: Teresa Brand Domínguez, Modelos Aplicados.

4.5.- Una probabilidad Binomial se define como sigue

T ÐBÑ œ
donde : 8 : B : 1 :

8x B Bx Ð8BÑx ‡ 1 ‡ Ð"

 1Ñ8B

n° de ensayos n°de éxitos es la probabilidad de éxito en cada ensayo

4.6.- La media se calcula por: . = 8‡1 4.7.- Varianza 5 # œ 8‡1‡Ð"  1Ñ (forma simplificada para calcular 5 # ) (forma simplificada para calcular .)

Observación: Para establecer una distribución binomial de probabilidad, se debe saber (1) n° de ensayos, (2) probabilidad de éxito en cada ensayo.

Ejemplo.- Un examen cocsiste en cuatropreguntas de verdadero/falso, un estudiante no sabe nada acerca de la materia. La probabilidad de que el alumno adivine la respuesta correcta a la primera es de 0.50. Asimismo, la probabilidad de acertar en cvada una de las restantes preguntas es 0.50 ¿Cuál es la probabilidad de: a) No obtener exactamente ninguna de las cuatro en forma correcta? P(0) =
%x ! !x‡Ð%!Ñx ‡Ð!Þ&!Ñ ‡Ð"

 !Þ&!Ñ%! œ!Þ!'#&

la probabilidad de no adivinar exactamente ninguna de las cuatro respuestas en forma correcta es 6,25% b) Obtener exactamente una de las cuatro? P(1) =
%x 1 1x‡Ð%1Ñx ‡Ð!Þ&!Ñ ‡Ð"

 !Þ&!Ñ%1 œ !Þ2500

la probabilidad de obtener exactamente una respuesta correcta de las cuatro es 25%.

Guía N°7 Distribuciones de Probabilidad ; Prof: Teresa Brand Domínguez, Modelos Aplicados.

5.-Distribución Hipergeométrica

5.1.- Existen sólo dor resultados posibles 5.2.- La probabilidad de un éxito no es la misma en cada ensayo 5.3.- la distribución resulta de un conteo del número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. 5.4.- La probabilidad hipergeométrica se calcula por medio de la siguiente ecuación.

T ÐBÑ œ
donde : N S B n : : : :

Ð= GB ч ÐR W G8B Ñ R G8

tamañopoblación Cantidad de éxitos en la población n° de éxitos que interesan tamaño de la muestra

Ejemplo.- Suponga que durante la semana un pequeño taller de torneados en madera fabricó cincuenta juegos didácticos (N=50), cuarenta funcionaron sin problema (S=40) y diez tuvieron al menos un defecto. Se selecciona una muestra al azar de cinco (s=5). a) ¿ Cuál es la probabilidad de que cuatro (x=4) de loscinco (n=5) funcionen perfectamente(observe que el muestreo se hace sin reposición) . Note que el tamaño de la muestra es 5 , es desir cooresponde al 10% de la población. Esto es mayor que la condición del 5%).
Ð40 G4 ч Ð50-40 G54 Ñ 50 G5

T Ð4Ñ œ

= 0.431

luego la probabilidad de seleccionar 5 juegos al azar de 50 y descubrir que 4 de los cinco funcionan bien es del 43.1%. b) ¿ Cuál es...