HOLAA

ufeffRepública de Panamá
Universidad Latina de Panamá
Sede de Santiago


Materia:
Métodos Numéricos


Tarea:
Ajuste de Curvas


Presentado por:



Profesor:
Horacio Sandoval


V Cuatrimestre
2013






Introducción
En ocasiones se tienen una serie de datos y se desconoce la función que los
ha generado y se desea saber cuál es ésta. Lo primero que se debe hacer esgraficar los puntos según sea el caso, para conocer su comportamiento y de
esta forma decidir cuál método es más apropiado utilizar con fines predictivos.
Existen varios métodos aquí nos dedicaremos únicamente a mínimos
cuadrados.











Ajuste de Curvas
“Regresión por mínimos cuadrados”
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de laoptimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc.), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en losdatos.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante quelos datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía omaximizando la entropía.

APLICACIONES DEL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS:
Actualmente se han desarrollado innumerables aplicaciones basadas en la minimización de una norma cuadrática en diversos campos que tienen relación con procesamiento de datos estadísticos o experimentales. Las principales aplicaciones se agrupan en:
Aproximación de funciones
Estimación de parámetros




“Regresiónpor mínimos cuadrados lineal”


El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es mediante el ajuste de un conjunto de pares de observaciones: (xl,yl), (x2,y2)…. (x„ ,y„) a una línea recta.

Se deben determinar los coeficientes a y b de la ecuación de la recta: Y = a + bx, que mejor se "ajuste" a los n pares (xi,yi) observados.


















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Dibujoesquemático de la regresión lineal simple


Esto equivale a que los valores de a y b hagan mínima la ecuación expresada a continuación, para encontrar una función que minimice la distancia entre lo encontrado (yi) y lo pronosticado (). Las diferencias entre los valores observados yi y los valores que predice el modelo, se denominan residuos.






Los coeficientes a y b se obtienen delas ecuaciones normales:



Por tanto

Interpretación: El parámetro a representa la ordenada en el origen, esto es, el valor que toma la variable dependiente cuando la variable independiente toma el valor 0. El parámetro b es la pendiente de la recta de regresión.
Es importante observar la diferencia de los roles que desempeñan x e y. Geométricamente, la recta de regresión lineal de y conrespecto a x minimiza la suma de las distancias verticales de los puntos  a la recta. La recta de regresión lineal de x con respecto a y minimiza las distancias horizontales. Las dos rectas se cortan en el centro de gravedad, , de la nube de puntos. La separación entre las dos rectas es mayor cuando la correlación es más débil.





Esquema de la regresión lineal simple


“Regresión de...