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UNIVERSIDADES PUBLICAS
DE LA COMUNIDAD DE MADRID
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PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSENANZAS
UNIVERSITARIAS
OFICIALES DE GRADO
Curso 2011-2012
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MATERIA: MATEMATICAS
II
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INSTRUCCIONESGENERALES Y VALORACION
El alumno contestar´
a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca
deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios dela otra opci´on. En cualquier
caso, la calificaci´on se har´a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de
calculadoras gr´aficas. Todas las respuestas deber´
an estardebidamente justificadas.
Calificaci´
on total m´
axima: 10 puntos.
Tiempo: Hora y media.
´ A
OPCION
Ejercicio 1 . Calificaci´
on m´
axima: 3 puntos.
Dadas las matrices

k
A= 1
2k


kk2
−1 k  ,
−2 2




12
B= 6 ,
8




4
C= 3 ,
3




x
X= y ,
z

se pide:
a) (1,5 puntos) Hallar el rango de A en funci´on de los valores de k.
b) (0,75 puntos)Para k = 2, hallar, si existe, la soluci´on del sistema AX = B.
c) (0,75 puntos) Para k = 1, hallar, si existe, la soluci´on del sistema AX = C.
Ejercicio 2 . Calificaci´
on m´
axima: 3 puntos.Dados los puntos P1 (1, 3, −1), P2 (a, 2, 0), P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2), se pide:
a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos est´en en el mismo plano.
b) (1 punto) Hallar losvalores de a para que el tetraedro con v´ertices en P1 , P2 , P3 ,P4 tenga
volumen igual a 7.
c) (1 punto) Hallar la ecuaci´on del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3 .
Ejercicio 3 .Calificaci´
on m´
axima: 2 puntos.
Hallar a, b, c de modo que la funci´on f (x) = x3 + ax2 + bx + c alcance en x = 1 un m´aximo relativo
de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexi´on.
Ejercicio 4 .Calificaci´
on m´
axima: 2 puntos.
Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas:
∫

∫

π

e2x cos x dx,

a) (1 punto)
0

π/2

b) (1 punto)
0

sen 2x
dx .
1 + cos2...