Holaaaaaa
Páginas: 3 (639 palabras)
Publicado: 2 de noviembre de 2012
Taller 2, Algebra Matricial
C´sar Augusto del C. e Universidad del Rosario Entrega: 7 de Marzo 2 de septiembre de 2012
Primera parte Proposici´n 1. Sean A, B matrices nxn INVERTIBLES, entonces o1. La inversa de A es unica. Es decir existe una unica matriz B tal que AB = I, BA = I, donde I denota la matriz identidad nxn. 2. La matriz AB tambien es invertible, y, (AB)−1 = B −1 A−1 e.d.(esdecir) El producto de matrices invertibles tambien es invertible. 3. La matriz A−1 es invertible, y, (A−1 )−1 = A. 4. Para cualquier n = 0, 1, 2 · · · An es invertible, y, (An )−1 = (A−1 )n . 5. Paracualquier escalar α = 0, la matriz αA es invertible, y (αA)−1 = 1 ( α )A−1 . 6. La transpuesta AT es invertible y (AT )−1 . El resultado anterior ya se hab´ enunciado en clase (salvo la ultima proıa ´piedad). Punto 1) En el siguiente ejercicio se deberan comprobar las propiedades anteriores para la matrices A = B=
2 1 5 3 1 1 2 3
con inversa A−1 =
3 −1
−2 1
,y
con inversa
3 −1−5 2
, como se indica en cada enunciado:
a)(prop.2) Calcular la matriz C = AB, comprobar que C −1 est´ dada por a B −1 A−1 . (prop.3) Mostrar que para C = A−1 , la inversa de C est´ dada por A. a 4, y comprobar que la inversa de C est´ dada por (prop.4) Calcular C = A a (A−1 )4 . b) Explique si es posible usando el resultado anterior, decir que las siguientes matrices son invertibles, en casode de ser invertibles calcule explicitamente 1
la inversa de C1 = 3A, C2 = AT B, C3 = AB −1 AT , C4 = A+B, C5 = A−B. Punto 2 Para A, B, C matrices invertibles nxnconocidas,despeje (Usando laspropiedades de las matrices) la matriz X nxn de la siguientes ecuaciones matriciales (note: Que en una de estas ecuaciones no se puede despegar la matriz X) a) AX = B b) AX −2BC = BA c) A((2A−1 +B)XC −A−1+BXC) = C. Punto 3. Encuentre las soluciones (si existen) para el siguiente sistema: a) x+y-z=0, 4x-y+5z=0, 6x+y+3z=0. b) x+y=4, 2x-3y=7, 3x+2y=8. c) 2y+5z=6, x-2z=4, 2x+4y=-2.
1 3 −5 1 4
...
C´sar Augusto del C. e Universidad del Rosario Entrega: 7 de Marzo 2 de septiembre de 2012
Primera parte Proposici´n 1. Sean A, B matrices nxn INVERTIBLES, entonces o1. La inversa de A es unica. Es decir existe una unica matriz B tal que AB = I, BA = I, donde I denota la matriz identidad nxn. 2. La matriz AB tambien es invertible, y, (AB)−1 = B −1 A−1 e.d.(esdecir) El producto de matrices invertibles tambien es invertible. 3. La matriz A−1 es invertible, y, (A−1 )−1 = A. 4. Para cualquier n = 0, 1, 2 · · · An es invertible, y, (An )−1 = (A−1 )n . 5. Paracualquier escalar α = 0, la matriz αA es invertible, y (αA)−1 = 1 ( α )A−1 . 6. La transpuesta AT es invertible y (AT )−1 . El resultado anterior ya se hab´ enunciado en clase (salvo la ultima proıa ´piedad). Punto 1) En el siguiente ejercicio se deberan comprobar las propiedades anteriores para la matrices A = B=
2 1 5 3 1 1 2 3
con inversa A−1 =
3 −1
−2 1
,y
con inversa
3 −1−5 2
, como se indica en cada enunciado:
a)(prop.2) Calcular la matriz C = AB, comprobar que C −1 est´ dada por a B −1 A−1 . (prop.3) Mostrar que para C = A−1 , la inversa de C est´ dada por A. a 4, y comprobar que la inversa de C est´ dada por (prop.4) Calcular C = A a (A−1 )4 . b) Explique si es posible usando el resultado anterior, decir que las siguientes matrices son invertibles, en casode de ser invertibles calcule explicitamente 1
la inversa de C1 = 3A, C2 = AT B, C3 = AB −1 AT , C4 = A+B, C5 = A−B. Punto 2 Para A, B, C matrices invertibles nxnconocidas,despeje (Usando laspropiedades de las matrices) la matriz X nxn de la siguientes ecuaciones matriciales (note: Que en una de estas ecuaciones no se puede despegar la matriz X) a) AX = B b) AX −2BC = BA c) A((2A−1 +B)XC −A−1+BXC) = C. Punto 3. Encuentre las soluciones (si existen) para el siguiente sistema: a) x+y-z=0, 4x-y+5z=0, 6x+y+3z=0. b) x+y=4, 2x-3y=7, 3x+2y=8. c) 2y+5z=6, x-2z=4, 2x+4y=-2.
1 3 −5 1 4
...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.