holi

Es la progresión cuyos términosaumentan por adición en una cantidadconstante llamada razón, y su grafica esuna línea recta.

La progresión puede ser creciente odecreciente, dependiendo de si la razónes positiva o negativa.
Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0;
M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;
r es la llamada tasa de crecimientoinstantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;
e = 2,718281828459...
La expresión se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Y así sucesivamenteEl volumen de una esfera al crecer.
El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-completocrece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.
El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria.
El número de miembros en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador.
Ecuaciones diferenciales
Catástrofe malthusiana [editar]
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservadorThomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era uncrecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hastaerróneos.
Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:
(2a, 2b)
La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:

Donde P0 es la población inicial y A0 es la cantidadinicial de alimentos. Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona es amin, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana tCM:
(*)
Puede verse que paracualesquiera valores positivos de r, k, A0, P0 y amin existe un instante del tiempo dado por tCM en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (2a, 2b) no cambian en todo el proceso. La solución de (*) viene dada mediante la función W de Lambert:

Curva logística [editar]
Artículo principal: Curva logística.
La curva logística es un refinamientodel crecimiento exponencial. Cuando una magnitud crece en un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento exponencial. Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su supervivencia en altas tasas de reproducción o...