Holi






































“El alumno aprende más por el modelo del Docente que por lo que él enseña”






















Objetivos:
Al finalizar el presente capitulo el educando estará en capacidad de:
Definir una ecuación diferencial
Solucionar una ecuación diferencial en forma general y particular
Probar unaecuación diferencial.
Reconocer los diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Resolver algunas aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias por los diferentes métodos.

6.0 Introducción

Ecuaciones lineales de segundo orden
En este contexto estudiaremos algunos conceptos básicos relativos a las ecuaciones diferenciales lineales así como algunas técnicas quepermiten el cálculo explícito de sus soluciones en ciertos casos.
Las ecuaciones lineales constituyen una clase especial de ecuaciones cuyo estudio está profundamente relacionado con los conceptos del algebra lineal. En el caso especial de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes las soluciones se pueden expresar completamente en términos de funciones elementales, un hecho ya conocidopor J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII. Esto las hace especialmente aptas para servir como un primer modelo de aquellos procesos físicos que tengan características lineales o aproximadamente lineales (modelos logísticos, teoría de pequeñas oscilaciones, teoría de circuitos eléctricos, etc.) En los procesos de liberalización, las ecuaciones lineales también resultan útiles en la etapainicial del estudio de problemas no lineales.
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función es una ecuación de la forma

donde , y son funciones dadas, definidas en un intervalo I. Cuando es la función nula, es decir se dice que es una ecuación lineal homogénea H, mientras que cuando no es idénticamente cero, , se llama no homogénea NH .
Algunos ejemplos deecuaciones lineales de segundo orden son
Movimiento armónico simple,
Ecuación de Bessel,
Ecuación de Legendre
La primera es un ejemplo de ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Las dos últimas son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes variables.

Ecuaciones Lineales Homogéneas
En general, una ecuación lineal de orden de la forma
se llama homogénea,
mientrasque una ecuación

donde no es idénticamente cero, se llama no homogénea.
Es un ejemplo de ecuaciones lineales de segundo orden y homogénea

Un ejemplo de una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea

En este contexto, la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas, como sucedía en la sección 6.5.2.
Para resolver una ecuación lineal nohomogénea como la (3), en primera instancia debemos resolver la ecuación homogénea asociada (2).


Principio de Superposición, Ecuaciones Homogéneas
Teorema: sean Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden , cuando (2) está en el intervalo I. La combinación lineal en donde las son constantes arbitrarias, también es una solución cuando esta en el intervalo.

Ejemplo.1 Lasfunciones y son soluciones de la ecuación lineal homogénea para x en el intervalo . Según el principio de superposición, la combinación lineal también es una solución de la ecuación en el intervalo.
La función es una solución de . Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante también es una solución. Cuando tiene diversos valores , . . . son soluciones de laecuación.

Para estudiar ecuaciones diferenciales lineales de orden n, recordamos dos conceptos básicos

Dependencia e Independencia Lineal

Defunción: se dice que un conjunto de funciones, es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes no todas cero, tales que para toda en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice...