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Ejercicio: cálculo de logaritmos
Sabiendo que log 10 2 = 0,301030 y log 10 3 = 0,477121, calcular log 10 6, log 10 8, log 10 3/2, 
Resolución:
Para obtener los logaritmos pedidos a partir del logaritmo de 2 y de 3, hay que expresar los números 6; 8; 3/2 y 3,6 en función de 2 y 3.
- log 10 6 = log10 (2·3) = log10 2 + log10 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151
- log 10 8 = log10 2³ = 3 log10 2= 3 · 0,301030 = 0,903090
- log 10 3/2 = log 10 3 - log 10 2 = 0,477121 - 0,301030 = 0,146091
-   (2.log 10 2 + 2.log 10 3 - log 10 10)/3 =
= (2.0,301030 + 2.0,477121 - 1)/3 = 0,185434
2) Calcular log 2 64, log 1/2 4, log 7 1/7
Resolución:
log2 64 = log2 26 = 6 log2 2 = 6 · 1 = 6
- log 1/2 4 = log 1/2 (1/2)-2 = -2
- log 7 1/7 = log 7 1 - log 7 7 = 0 - 1 = 1-
3) Desarrollar el logaritmo dela expresión:
B = 
Resolución:
El desarrollo del logaritmo es independiente de la base que se tome, por lo tanto se prescindirá de ella.
log B = log  = log (x.y³) -  log x + 3.log y - (log 2 + 4.log z)/3 =
= log x + 3.log y - 
3) Desarrollar el logaritmo de la expresión: C = 
Resolución:
log C =  = 


Obtener la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:

Resolución:
Eneste caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos anteriores.

Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:
log x 8 = 1/2; log x 1/9 = -2; log 27 x = 1/3; log 10 0,01 = x; log 1/2 x = -1
Resolución:
log x 8 = 1/2 ⇒ x1/2 = 8 ⇒ √x = 8 ⇒ x = 8² ⇒ x = 64
log x 1/9 = -2 ⇒ x-2 = 1/9 ⇒ 1/x² = 1/9 ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3

log 10 0,01 = x ⇒ 10x = 0,01 ⇒ 10x = 1/100⇒ 10x = 1/10² = 10-2 ⇒ x = -2
log 1/2 x = -1 ⇒ (1/2)-1 = x ⇒ 2 = x
LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sinnecesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:
log 1 = 0; puesto que 10° = 1. → log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10. → log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienenbase e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e° = 1
ln e² = 2; puesto que e² = e²
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesiónSu valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...
CAMBIO DE BASE
Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.
Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...
Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número enotra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:
log b x = log a x/log a b
Demostración:
Sea:
log a x = A ⇒ aA = x
log b x = B ⇒ bB = x
⇒ aA = bB
Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:
loga aA = loga bB ⇒ A loga a = B loga b
Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene:
B = A/log a b
es decir,
log b x = log a x/log a b
Ejercicio: cambiosde base de logaritmos
Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8
Resolución:
Aplicando la fórmula, log 16 8 = log 2 8/log 2 16 = 3/4 = 0,75
Sabiendo que log 3 27 = 3, calcular log 9 27
Resolución:
log 9 27 = log 3 27/log 3 9 = 3/2 = 1,5
Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.
Resolución:
log 7 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207
Relación entre...