Hombre Fiico

Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Aún ordenadas y completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos, para quienes las publico. Adrián Faigón.

Sistema de partículas Hasta acá hemos tratado, prácticamentesiempre, con una partícula puesta en un potencial. En particular profundizamos el caso de una partícula puesta en un potencial de gravitación, sobreentendiendo que éste estaba originado en la presencia de una segunda masa, que por comodidad, o aproximación a casos reales de interés, la consideramos inmóvil. Vamos ahora a tratar sistemas de más de una partícula, redefinir las magnitudes mecánicasbásicas y extender las leyes encontradas para el caso de una partícula. Será de particular interés tratar el sistema de dos cuerpos Aditividad de las magnitudes mecánicas básicas Muchas de las magnitudes mecánicas mencionadas hasta acá: fuerzas, trabajos, momentos lineales y angulares, energías potencial y cinética, son aditivas, con el significado de que su valor para el sistema, es la suma de losvalores para cada una de las partículas que lo integran. Usaremos en general una mayúscula para el sistema y minúscula para las partículas, p.ej. P = Σ pi Cambio de referencial y centro de masas Sea un referencial con orígen en O* que se mueve con velocidad V respecto del referencial con origen en O. Las posiciones y velocidades de cada partícula en los referenciales estrella y sin estrellar estaránrelacionadas por ri = OO* + ri* vi = V + vi* . (5.2) (5.3) (5.1)

Y el momento lineal total del sistema de partículas en uno y otro referencial por: P == Σ mi . vi = Σ (mi .V + mi . vi*) = M.V + P* , (5.4)

donde M es la masa total. Indicando que hay un referencial particular, aquel con velocidad V=P/M (5.5)

respecto de O en el cual P* es cero, en cuyo caso se habla de un reposo del sistemaen su conjunto. Ese referencial en el cual el sistema de partículas tiene momento lineal nulo, se denomina referencial del centro de masas. Esto es porque se denomina centro de masas al "promedio" de las posiciones de las partículas ponderadas por sus masas

Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Aún ordenadas y completadas, notienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos, para quienes las publico. Adrián Faigón.

Rcm = Σ mi . ri / M de modo que su velocidad es

,

(5.6)

dRcm/dt = Σ mi . (dri /dt) / M = P/M = V

.

(5.7)

Así, el referencial privilegiado en el cual el sistema está en reposo se muevecon la velocidad del centro de masas, que tomaremos en general como origen del mismo. El problema de dos cuerpos Reducción al problema de un cuerpo moviéndose en campo central. Considérese el sistema formados por dos cuerpos en las posiciones r1 y r2, con velocidades v1 y v2. En principio diremos que el Lagrangiano será función de esas cuatro variables. Sin embargo, por razones de simetría, elpotencial no puede depender más que de la distancia entre ellos. (No hay ninguna razón por la cual la ubicación absoluta del sistema en el espacio homogéneo, o la orientación de la recta que une los cuerpos en un espacio isótropo, pudiera afectar su comportamiento.) I.e., con V(r1, r2) = V(|r1-r2|) = V(r) r == r1 - r2 En el referencial del c. de m. y además de donde r*1 = m2.r/(m1+m2) = µ/m1.r r*2 =-m1.r/(m1+m2) = -µ/m2.r. con µ llamada la masa reducida, definida por µ=m1.m2/(m1+m2). Las derivadas temporales de las últimas dan v*1 = µ/m1.v v*2 = -µ/m2.v. y (5.12b) (5.13b) y (5.12a) (5.13a) m1.r*1 + m2.r*2 = 0 r*1 - r*2 = r (5.10) (5.11) . (5.8) (5.9)

De modo que también la energía cinética será función de la única velocidad v, con la forma

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