Homorfismos

mosÁlgebra II (LSI y PI)-F.C.E. y T.-UNSE

5.- HOMOMORFISMOS
5.1 HOMOMORFISMO DE GRUPOS

Definición 1 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. La función f : G → H es un homomorfismo del grupo G en el grupo H si y sólo si:

∀a,b ∈G; f(a* b) = f(a) f(b)
G
a b a*b

H
f(a) f(b) f(a*b)= f(a) f(b)

f Ejemplo: Un homomorfismo del grupo (R+, .) en el grupo (R, +) es la función logaritmo definidapor: log : R+ → R x log x ya que cualesquiera sean a, b ∈ R+ se verifica que

log(ab) = loga + logb
Proposición 1 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. Si f : G → H es un homomorfismo, entonces la imagen del elemento neutro de G es igual al elemento neutro de H. Esto es,

f(eG) = eH
Demostración Como por hipótesis (G,*) es un grupo se tiene que,
1

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∀a∈ G; a * eG = eG * a = a
Tomando la igualdad

y aplicando f en ambos miembros se conserva la igualdad (por ser f una función)

a * eG = a
G

f a * e = f (a )
y además f es un homomorfismo, entonces

(

)

f (a) f (eG ) = f (a ) . Al operar en el segundo miembro con eH , elemento neutro de ( H , ) , no se altera la
igualdad

Por ser ( H , ) un grupo, todo elemento de H es cancelablepor lo que resulta: De manera análoga se procede partiendo de la igualdad eG * a = a , y se llega a que

f (a) f e = f (a ) eH .
G

( )
G

f e = eH
G

( )

f e = eH

( )

Q.E.D

Proposición 2 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. Si f : G → H es un homomorfismo, entonces la imagen del inverso de todo elemento de G es igual al inverso de su imagen. Esto es,

∀ a ∈ G ; f(a’) = [f(a)]’
Demostración: Por hipótesis (G,*) es un grupo, por lo tanto

∀ a ∈ G; ∃ a'∈ G : a * a' = a' * a = eG
Tomando la igualdad a * a' = eG y aplicando f en ambos miembros es:

f (a * a') = f e

( )
G

Por definición de homomorfismo y por la Proposición 1 de homomorfismos, se tiene

f (a ) f (a') = eH (α) En forma análoga se procede con la igualdad a' * a = eG , y se llega a que f (a') f(a ) = eH (β)

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En (α) y (β) se observa que f(a) operado a izquierda y a derecha con f(a’) se obtiene el elemento neutro eH . Por lo tanto se deduce que f(a’) es inverso de f(a) y como el inverso de cada elemento es único se verifica:

∀ a ∈ G ; f(a’) = [ f(a)]’
En diagrama de Venn
G H

a eG a'

f(a) f(eG)= eH f(a’)= [f(a)]’

f
Q.E.DNúcleo de un homomorfismo de grupos Definición 2 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. El Núcleo del homomorfismo f es el conjunto formado por los elementos de G que tienen por imagen al elemento neutro de H. En símbolos,

Nf = {x ∈ G / f(x) = eH},
donde eH es el elemento neutro de H.

( α)

Es claro que, un elemento de G pertenece al núcleo de f si y sólo si suimagen es igual al elemento neutro de G, esto es x ∈ Nf ⇔ f(x) = eH G
. . Nf . . . x . . . . . .

(β) H
.

f(x) = eH
. .

f
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Proposición 3 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. El Núcleo del homomorfismo f es un subgrupo del grupo G. Demostración:
i)

Nf ⊂ G Esto es evidente por (α), definición de núcleo de unhomomorfismo. Nf ≠ ∅
En efecto,

ii)

f e

( ) =e
G

(1)

H

( 2)

eG ∈ N f

(3)

Nf ≠∅

(1) Por Proposición 1 (2) Por definición (β) de núcleo (3) Por definición de ∅

iii)

a, b ∈ N f
En efecto,

a * b' ∈ N f

a, b ∈ N f

(1)

f (a ) = eH
∧

∧

f (b) = eH
(4)

(2)

f (a ) = eH

∧

[ f (b)]' = e' H
(5)

(3)

(3)

f (a) = e H a * b'∈ N f

f (b' ) =eH

f (a)° f (b' ) = eH

eH

f (a * b') = eH

(6)

(6)

Referencias: (1) Por definición (β) de núcleo (2) Si dos elementos son iguales, sus inversos también lo son (3) Por Proposición 2 y porque el inverso del elemento neutro es él mismo (4) Componiendo miembro a miembro las igualdades precedentes (5) Porque f es un homomorfismo y e elemento neutro de G
H

(6) Porque G es un...