HOMOTECIA y semejanza

CONCEPTO DE HOMOTECIA.
Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera que
Al punto P' lo denominaremos homólogo de P.


Ten en cuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P.

Las homotecias también se pueden aplicar a polígonos. Se trata de hacer la operacióndescrita previamente con cada uno de sus vértices.


La homotecia de centro O y razón k la notaremos como
ACTIVIDAD 1
Dibuja un triángulo como el de la figura y aplícale las homotecias y

También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en la  figura tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC:

Cuando la razón es negativa, el centrode la homotecia queda situado entre el punto y su imagen.
Resumiendo:
1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.
2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’ , siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.
3) Unahomotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos.
ACTIVIDADES 2:
a)En la figura tienes un triángulo rectángulo ABC y su homotético A’B’C’.
Halla la razón de la homotecia y calcula todas las dimensiones de los dos triángulos.
¿Qué relación hay entre los perímetros de figurashomotéticas?
b)En la figura tienes dos triángulos. Determina si son homotéticos y calcula, en su caso, el centro, la razón de la homotecia y las dimensiones de los triángulos.

c)Señala el centro y la razón de homotecia en los siguientes casos:

d)Completa la figura sabiendo que A' es la imagen de A por una homotecia y que su razón vale 3. Indica el centro de homotecia.

Completa la figura sabiendo que A'es la imagen de A, y que B' es la de B. Indica el centro y la razón de homotecia.

Relación entre las áreas de figuras homotéticas
Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:


la razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia.
La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.
APLICACIONES DE HOMOTECIAS.
Al cálculo de distancias.
a) Deseamos calcular laprofundidad del pozo, para ello disponemos del aparato de la figura y nos disponemos en la forma que nuestro protagonista. 

Los triángulos ABC y AB’C’ son homotéticos, en consecuencia es igual la razón entre lados homólogos:
Como los lados AB, BC y B’C’ son fáciles de medir, podemos despejar la longitud AB’. Sólo hay que restarle la altura del aparato para conocer la profundidad del pozo.
b)Trabajo con recipientes cónicos.
Sobre un depósito cónico que contiene líquido se toman los siguientes datos

Podemos esquematizar la situación anterior de la siguiente manera:

Si aplico el teorema de Pitágoras en ABC, obtengo que h=3.
Como ABC y ADE son homotéticos, sus lados homólogos son proporcionales:
x / h =10 / 4
cambiando h por 3 y despejando, x = 30/4 = 8'5.
c) Aplicaciones relacionadascon la ingeniería.
En el siglo VI a. C. el tirano Polícrates ordenó a Eupalinos la construcción de un túnel, que se conserva en parte actualmente, para llevar agua atravesando el monte Castro. La longitud del túnel era de 1 Km, debiéndose perforar desde las dos laderas del monte. El error que se cometió en el centro, donde las dos mitades debían encontrarse, fue de 10 m en horizontal y 3 m envertical.

Deseamos construir un túnel que una los puntos T y L. Para ello se bordea el monte como indica la figura .Es posible tomar las medidas de los segmentos dibujados en trazo continuo, a partir de éstas es fácil obtener las del triángulo imaginario TAL:
LA=EN-TU TA=UN-EL
Conocidas éstas construiremos fácilmente el triángulo TOS, de manera que sea homotético al TAL:
Dibujamos los lados TO y...