Homotecia

Homotecia

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja unúnico punto fijo, llamado centro de la transformación.

Definición
Esquema de operación de una homotecia.Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E.La homotecia de centro C y de razón k, denotada envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

(1a)
La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afínde la forma:

(1b)
La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: , y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Homotecia,de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vectorpor el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

PropiedadesLa homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:

1.el alineamiento: lasimágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2.el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de lasimágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3.el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).

Además lahomotecia conserva:

1.el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
2.los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:

1.La imagen de unarecta es otra recta paralela.
2.Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3.Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la...