homotopía

¿Qu´ es una homotop´
e
ıa?
Gustavo Garc´
ıa

1.

Definici´n:
o

Existe una definici´n para grupos de homotop´ pero en este caso nos eso
ıa,
tamos refiriendo a una aplicaci´n. Sea Ω unespacio topol´gico, γ1 , γ2 : [0, 1] ⊂
o
o
R −→ Ω continuas; dos curvas en Ω tales que γ1 (0) = γ2 (0) = a y γ1 (1) =
γ2 (1) = b, es decir, empiezan y terminan en los mismos puntos. Se dice que γ1
eshomot´pica a γ2 si existe:
o
δ : [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 −→ Ω continua
δ(t, 0) = γ1 (t)
δ(t, 1) = γ2 (t)
δ(0, u) = a, ∀u ∈ [0, 1]
δ(1, u) = b, ∀u ∈ [0, 1]
A dicha δ se le llama homotop´
ıa

2.Interpretaci´n
o

Esta definici´n podr´ parecer extra˜ a pero fijemonos con atenci´n en lo que
o
ıa
n
o
nos pide.
Primero que nada no estamos fij´ndonos en cuales quiera funciones, nos estaamos fijando en curvas que parten y terminan en los mismo puntos (podr´ ser
ıan
curvas cerradas)(podemos imaginar todo pensando Ω = R2 , para fijar ideas),
y definimos una funci´n continua; pero escontinua en un espacio con dos dio
mensiones (el cuadrado unitario) lo cual significa que es continua de muchas
maneras veamos con calma que significa:
Por ejemplo fijemos una t ∈ [0, 1] y variemos x ∈[0, 1] y usemos estos en δ:
δ(t, x) = γx (t) el que δ sea continua significa en este caso que cada funci´n que
o
tomas variando la x es continua (con respecto de t).
Ahora fijemos la x y variemos lat:
δ(t, x) = u, u ∈ Ω aqu´ la continuidad significa que los puntos pasan de uno al
ı
otro (de funci´n en funci´n[atraviesan las funciones]) de manera continua. Pero
o
o
bueno eso no es lo unicopues recordemos que la continudad significa que de
´
cualquier manera de llegar a un punto en el dominio siempre la funci´n (δ) va
o
a llegar al mismo punto, y lo anterior es solo interpretar dosdirecciones.

1

Otra manera de interpretar esta funci´n δ es darse cuenta que induce una
o
funci´n del espacio de funciones de [0, 1] a Ω continua, y esta es una animaci´n
o
o
continua de...