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2°BD – Matemática Núcleo Común

Liceo Solymar 1

FUNCIONES POLINÓMICAS
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: Llamamos función a toda relación entre dos conjuntos (dominio y
codominio) en la que a cada uno de los elementos del dominio le corresponde uno y sólo uno del
codominio.

Notación:

f : AB
D( f )  A

“función f, de dominio A y codominio B”

“Dominio de f” (Es el conjunto de elementos para los queexiste f(x))

A los elementos del dominio los llamaremos preimagen y a sus correspondientes imagen
Al conjunto de las imágenes lo llamaremos codominio o recorrido

( Re c( f ) )

Recuerda:

( x, y )  f 
  ( x, y)  ( x, f ( x))
y  f ( x) 

“La imagen de un elemento x según la función f es y”

Formas de representar una función:
La noción de función encierra

una multiplicidad de representacionesligadas entre sí, por ello

Guzmán plantea:
“Una función no es:
ni una tabla de valores,
ni una representación gráfica,
ni una serie de teclas de una
calculadora,
ni una fórmula.
Es todo eso a la vez” (Guzmán, 1989)

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN POLINÓMICA

Llamamos función polinómica a toda función de dominio y codominio el conjunto de los números
reales y cuya expresión analítica es de la forma:

endonde

Profesoras: Jimena Bernardico y Viviana González

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Observaciones:

se denominan coeficientes

: coeficiente principal
: término independiente
: grado de la función polinómica
Valor numérico de un polinimio
Para obtener valores funcionales basta sustituir la variable x por el número deseado, así para
su valor funcional es

Ejemplo: Sea p /RAÍZ DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

Las raíces de un polinomio son los números para los que el valor numérico del polinomio es cero

Ejemplo: Sea p /

, 3 es raíz de p

FUNCIÓN POLINÓMICA NULA
Una función polinómica es nula cuando para todo x perteneciente a los reales se cumple que
.

Observaciones:
Se puede escribir como
La función polinómica nula tiene infinitas raíces. Para cualquier valor real de xse cumple que
.
La función polinómica nula no tiene grado.
GRADO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
Para

toda

diremos que
que

función

polinómica:

es el grado de

si y solo si

, y para todo natural mayor que

se cumple

. Notación:

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FUNCIONES POLINÓMICAS IGUALES

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNAFUNCIÓN POLINÓMICA
Diremos que una función f tiene un
máximo relativo en x = s, cuyo valor es
f(s), cuando los valores funcionales en los
puntos muy cercanos a s (entorno de s), son
menores o iguales que f(s).
Diremos que una función f tiene un mínimo
relativo en x = m, cuyo valor es f(m),
cuando los valores funcionales en los
puntos muy cercanos a m( entorno de m),
son menores o iguales que f(m).RELACIÓN ENTRE GRADO Y NÚMERO DE RAÍCES
Una función polinómica de grado “n” tiene como máximo “n” raíces distintas.
Veamos la demostración para una función polinómica de tercer grado.
Demostración:
Sea

de grado 3. Supongamos por absurdo que la función tiene 4

raíces distintas dos a dos:

.

Por el teorema de descomposición factorial

puede expresarse como:

Para
Se cumple:

ya que

pues el gradode f es 3,

pues las raíces son distintas entre sí.
Entonces podemos afirmar que
que

, pero esta afirmación es contradictoria con la suposición de

es raíz de f. En conclusión una función polinómica de tercer grado no puede tener más de tres

raíces distintas.
Factorización
Si una función polinómica de grado n, admite n raíces (

), su expresión analítica puede

descomponerse de forma única comoproductos de factores de la siguiente forma:

Lo demostraremos más adelante

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SIGNO DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Estudiar el signo de una función significa determinar para cada elemento del dominio si su imagen es un
número positivo, negativo o cero.
Veamos un ejemplo a partir de una función...