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Demostración


El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando elsegmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulosinscritosque abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suelellamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferenciacircunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de lacircunferencia circunscrita.
























Relacionar las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos con ángulos del primercuadrante. Razones ángulos suplementarios, razones ángulos complementarios, razones ángulos opuestos.


Segundo cuadrante   90° < α < 180°  ángulos suplementarios   180° - α








sen ( 180° - α ) =sen α
cos( 180° - α ) = - cos α
tan ( 180° - α ) = - tan α


Ejemplo razones ángulos suplementarios


Hallar el seno, coseno y la tangente de 135°





Tercer cuadrante     180° < α <270°    difieren en 180°     180° + α



sen ( 180° + α ) = - sen α
cos( 180° + α ) = - cos α
tan ( 180° + α ) = tan α


Hallar el seno, coseno y la tangente de 210°





Cuarto...