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Teorema de Tales
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos
referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el
siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de untriángulo que sea semejante a otro
existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos
los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su
hipotenusa).

Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos
sonsemejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son
proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos
de la geometría, a saber, que:

Tales de Mileto.

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
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Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de
los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son
proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula

Ver:PSU: Geometría;
Pregunta 01_2005
Pregunta 05_2006
Hagamos un ejercicio como ejemplo:

En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los
segmentos a y b.
Apicamos la fórmula, y tenemos

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza
de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.Corolario
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus
lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
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Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, envirtud del
Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A
y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo
grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

Una aplicación del Teorema de
Tales.

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad esevidente; según
Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la
pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y
Micerinos), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos
solares incidentes eran paralelos).
Así, estableció una relación de semejanza (Primer
teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos,
los que se grafican en la figura a la derecha.
Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud
de la sombra de la pirámide (C,conocible) y la
longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado,
valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo
perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles
(A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su
sombra (B). Como en triángulos semejantes, se
cumple que

, por lo tanto la altura de la

pirámide es

, con lo cual resolvió el

problema.

Otra variante del...