Huiu

` ALGEBRA LINEAL ENGINYERIA QU´ IMICA I ENGINYERIA DE MATERIALS CURS 2012–2013

1. Nombres complexos 1. Dibuixeu en el pla els nombres complexos seg¨ents: u 1 + i, 1 − 3i, 2i, −2 + 5i, 1 + i3 , i4 .

2. Escriviu el conjugat de cadascun dels nombres complexos seg¨ents: u 3 + 5i, 6 − 2i, −2 + i, 4i, 2.

3. Expresseu en forma polar els nombres complexos seg¨ents: u 1 + i, 1 − i, i,
1 2 √

+3 i, 2

1 + 3i,

2 − 2i.

4. Expresseu en forma cartesiana els nombres complexos seg¨ents: u √ −i π π π 2eiπ , 3ei 2 , 2e 4, 5ei 6 . 5. Siguin z1 = i21 − 1, z2 = (1 + i)4 . Calculeu z1 + z2 i z1 z2 . √ 6. Calculeu (1 + 3 i)6 . 7. Efectueu les operacions seg¨ents: u (2 + 3i) + (4 − i), (1 + 2i)(3 − 2i), 2+i , 1 − 2i
1 (2 − i) − (5 + 3i) + 2 (4 − 4i).

8. Calculeu el m`dul de cadascundels nombres complexos seg¨ents: o u −2i(1 + i)(−1 − i), 1 + ai ∈ R. 1 − 3i (2 − i)(−1 + 2i) . (1 − i)(1 + i)

9. Calculeu a ∈ R per tal que

10. Trobeu, en forma polar o cartesiana, tots els nombres complexos z que satisfan: (a) z 4 + 1 = 0; (b) z 5 − 2 = 0; (c) z 2 + z + 1 = 0; (d) z 2 − 4z + 8 = 0.

1

2. Polinomis 11. Siguin a(x) = −3 + x2 + 2x3 i b(x) = 3 − 2x2 . Calculeu a(x) + b(x)i a(x)b(x). 12. Calculeu el grau dels polinomis seg¨ents: u √ √ (i) a(x)b(x) si a(x) = 1 + 2x − 3x3 i b(x) = 2 + x + 3x3 ; √ (ii) a(x) + b(x) si a(x) = 1 + x − x2 + 2x3 i b(x) = 2 + x2 − 2x3 . 13. Discutiu quin grau t´ la suma i quin grau t´ el producte, en general, de dos e e polinomis a(x) i b(x) donats. 14. Trobeu el quocient i la resta de la divisi´ entera de a(x) = x5 + x2 + 3 per o 3 b(x) =2x + 1 i per c(x) = −x + 2x + 3. 15. Trobeu el quocient i la resta de la divisi´ entera de a(x) = 4x3 +x2 per b(x) = 3x. o 16. Decidiu si x3 + 4x2 + 5x + 2 ´s divisible per x + 2. e 17. Sense efectuar la divisi´, decidiu si els polinomis x + 1 i x − 1 s´n divisors de o o 5 x + 1. 18. Trobeu tots els divisors de la forma x − m, amb m ∈ Z, de a(x) = 2x3 − 14x + 12 i de b(x) = 1 x2 + x + 3 . 5 2 19.Trobeu la resta de la divisi´ entera de x5 − 2x4 − x + 1 per x − 2 sense efectuar o la divisi´. o 20. Busqueu les arrels a Q dels polinomis seg¨ents i decidiu quines d’aquestes arrels u s´n arrels m´ltiples i quina multiplicitat tenen: o u (i) x2 + 2x + 1; (ii) x2 + 5x + 6; (iii) 2x3 − 3x2 − 2x + 3; (iv) x3 − x2 − x − 2; (v) x4 − 9x2 + 20.

2

3. Matrius i sistemes d’equacions 21. Donades lesmatrius seg¨ents, indiqueu quantes files i quantes columnes t´ cadasu e cuna i decidiu quines parelles es poden sumar i quines es poden multiplicar, i en quin ordre. Efectueu totes les operacions possibles.     1 1 7 A = 2 , B = 5 2 −1 , C = −2 4 , 3 0 3     7 5 2 −1 1 7 2 3 , F = D = 0 , E = 3 3 . −2 4 1 0 0 0 0 22. Amb les matrius del problema anterior, decidiu si les operacionsseg¨ents s´n u o possibles i, en cas afirmatiu, efectueu-les. A · DT + E + F · C, (A + D) · E, B · E · C · F, (B + E) · C.

23. Decidiu si les matrius seg¨ents commuten entre elles o no: u     1 −1 1 −1 0 −2 2  0 1 −2 . 1 2 , 0 1 −1 1 0 1 24. Demostreu que el producte de matrius diagonals ´s commutatiu. Doneu un e exemple de dues matrius triangulars que no commutin entre elles. 25.Calculeu el rang de les matrius seg¨ents utilitzant el m`tode de Gauss. Decidiu u e si tenen inversa i, en cas afirmatiu, calculeu-la.       1 1 −1 1 2 3 4 −2 1 −1 1 1 1 1 −1  , 1 −1 −2 0 5 , 1 0 , 0 1 1 0 4 1 0 8 1 1 −1 1 0 0 1       1 2 1 1 −1 2 −2 1 1 −2 1 −2 , −1 ,  0 1 −1 . 2 1 1 0 1 −1 3 4 1 1 1 26. Decidiu si les matrius seg¨ents tenen inversa i, en cas afirmatiu,calculeu-la. u 2 0 , 0 3/2 5 0 , 0 0 2 3 , 0 1 0 1 , 0 1 1 1 , −1 2 2 1 . 4 2

3

27. Donats els sistemes d’equacions seg¨ents, escriviu-los en forma matricial, decidiu u si tenen soluci´ i, en cas afirmatiu, trobeu totes les solucions. o    x + y + z = 2 x + y + z = 2 x − y + z = 2    2x + 3y − 2z = 7 , 2x + 3y − 2z = 7 , 2y − 3z = 7 ,    −x − 5z = 3 −x − 5z = 1 −x + y − 2z = 3  ...