Hundiendo

M´todos num´ricos de resoluci´n de
e
e
o
ecuaciones no lineales
Carlos Conde (∗ ) y Emanuele Schiavi (∗∗ )

(∗ )

Universidad Polit´cnica de Madrid.
e

Escuela T´cnica Superior de Ingenieros de Minas
e
Departamento de Matem´tica Aplicada y M´todos Inform´ticos
a
e
a

(∗∗ )

Universidad Rey Juan Carlos.

Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnolog´
ıaDepartamento de Matem´tica Aplicada
a

2

´
Indice

1. Introducci´n
o

5

1.1. Motivaci´n y generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

5

1.2. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. M´todos generales para la resoluci´n de una ecuaci´n no lineal 21
e
o
o
2.1. El m´todo de bipartici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
e
o

22

2.2. El m´todo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . .
e

27

2.2.1. La t´cnica de sobreiteraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o

36

2.3. El m´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

37

2.4. Variantes del m´todo de Newton-Raphson: m´todos de la secante
e
e
y de “regula falsi” . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

51

2.4.1. M´todo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

51

2.4.2. El m´todo de “Regula Falsi” . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

52

2.5. Velocidad de convergencia de los m´todos iterativos . . . . . . . .
e

54

2.6. Aceleraci´n de la convergencia de los m´todos iterativos: m´todo
o
e
e
∆2 de Aitken . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

59

2.7. Algunos comentarios finales sobre los m´todos de resoluci´n de una
e
o
ecuaci´n no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

65

3. M´todos de resoluci´n de sistemas de ecuaciones no lineales
e
o

69

3.1. El m´todo de aproximaciones sucesivas para sistemas de n ecuae
ciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

70

3.2. Una variante del m´todo de aproximaciones sucesivas . . . . . . .
e

81

3.3. El m´todo de Newton-Raphson para sistemas de n ecuaciones no
e
lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3

´
INDICE
3.4. Variantes del m´todo de Newton-Raphson para sistemas: m´todo
e
e
de Newton modificado y m´todos decuasi-Newton . . . . . . . . .
e

93

3.4.1. Aproximaci´n de las derivadas parciales mediante difereno
cias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.4.2. M´todo de Newton modificado . . . . . . . . . . . . . . . .
e

95

3.4.3. M´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

95

3.4.4. M´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
e

95

3.4.5. M´todos de sobrerrelajaci´n (SOR) . . . . . . . . . . . . .
e
o

96

3.4.6. M´todos de cuasi-Newton: M´todo de Broyden . . . . . . .
e
e

96

3.5. Algunos comentarios sobre los m´todos de resoluci´n de sistemas
e
o
de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4. Ejercicios propuestos

115

5. Bibliograf´
ıa

119

4CAP´
ITULO 1

Introducci´n
o
1.1.

Motivaci´n y generalidades
o

Ejemplo 1.1. (Cortes´ del Pr. J. Aguado): La presi´n de vapor del n-hexano
ıa
o
y del n-octano se puede relacionar con la temperatura mediante las siguientes
expresiones:
2697,55
T − 48,784
3127,60
0
log(PC8 ) = 15,9798 −
T − 63,633

0
log(PC6 ) = 15,8737 −

donde la presi´n Pi0 est´ dada en mil´
o
aımetros de mercurio y la temperatura T
en grados Kelvin. Ello nos permite estimar la temperatura de ebullici´n del no
hexano a 2 atm´sferas (1520 mm Hg) en 364,39 o K y la del n-octano a la misma
o
presi´n en 425,07 o K. Se desea conocer, tambi´n a la presi´n de 2 atm´sferas, la
o
e
o
o
temperatura de ebullici´n de una mezcla l´
o
ıquida que contenga un 50 % en moles
de ambos componentes....