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Publicado: 24 de abril de 2013
CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA
Tema
:
Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Cramer y por Reducción
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN: Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un
conjunto de ecuaciones de la forma:
a11 x1 a 12 x 2 a1n x n b1
a x a x a x b
21 1 22 2
2n n
2
a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
(1)
Siendo:
-
aij son los coeficientes del sistema.
-
bi son los términos independientes del sistema.
x j son las incógnitas del sistema.
Donde: las constantes reales de las ecuaciones (1) se pueden establecer en el siguiente
arreglo de m x n
a1n
a11 a12
a
a2 n
21 a22
a la cual denominaremos matriz de coeficientes.
A
amn
am1 am 2
A los vectores:
x1
b1
b
x
B 2
X 2
bm
xn
x es vector columna de las incógnitas ó vector solución.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Semestre 2012-II
1
B es vector columna de los términos independientes.
Entonces, el sistema (1) se puede representar matricialmente de la siguiente forma
AX=B
Clasificaciónde los sistemas de ecuaciones en función del conjunto de soluciones:
1) Sistema Incompatible (S.I): cuando no admite solución.
2) Sistema Compatible (S.C): cuando admite más de una solución.
a) Sistema Compatible y Determinado (S.C.D): esto es, que tenga una única
solución.
b) Sistema Compatible e Indeterminado (S.C.I): esto es, que tenga infinitas
soluciones.
METODOS DE SOLUCIÓN DE LOSSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.
MÉTODO DE CRAMER
Se utiliza para resolver sistemas cuadrados del tipo:
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1
a2 n xn b2
ann xn bn
con n ecuaciones lineales y con n incógnitas.
Si el determinante A de la matriz de coeficientes A es diferente de cero, entonces el sistema tiene
una únicasolución. Además, la solución está dada por
x1
A2
An
A1
, x2
, …, xn
A
A
A
Donde Ak , el numerador de xk , es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima
columna de A por la columna de constantes.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Semestre 2012-II
2
2 x y 5 0
Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones
. Solucionar el sistema.
x 3y 6
Solución:
2 x y 5
El sistema, se puede escribir de la siguiente manera:
x 3y 6
El determinante A de la matriz de coeficientes es: A
2 1
= (2)(3)-1(1) = 5
1 3
Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, entonces el sistema
tiene solución única.
Luego, calculamos:
A1
5 1
21
6 3
A2
2 5
17
1 6
Entonces,la solución del sistema de ecuaciones es:
x
A1 21
A
5
y
A2 17
A
5
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer
2 x y z 0
4 x 3 y 2 z 2
2 x y 3z 0
Solución:
En primer lugar se resuelve el determinante de la matriz de coeficientes:
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Semestre 2012-II
3
2
A4
1
31
2 8 ; como A 0 , existe una solución única.
2 1 3
Resolvamos para x
x
A1
A
Resolvamos para y
0 1 1
2 3 2
0 1 3
8
4
1
8
2
y
A2
A
2 0 1
4 2 2
2 0 3
8
16
2
8
Resolvamos para z
z
A3
A
2 1 0
4 3 2
2 1 0
8
La solución es: x
2.
8
1
8
1
,
2
y=2
z = -1MÉTODO DE GAUSS
Este método comprende una serie de operaciones sobre un sistema de ecuaciones lineales para
obtener en cada paso un sistema equivalente; es decir, un sistema con la misma solución que el
sistema original. Las transformaciones terminan cuando el sistema original ha sido reducido en su
forma escalonada reducida.
El método de Gauss-Jordan implica a realizar lo siguiente:
1....
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