I2 2012 2do Sem

´ lica de Chile
Pontificia Universidad Cato
´ ticas
Facultad de Matema
1 de Octubre de 2012

MAT1640

Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de la Interrogaci´on No 2.
1.

a) Compruebe que la funci´
on y1 (t) = t sin(2t) + sin(2t) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial
(t + 1)2 y − 2(t + 1)y + 2(2(t + 1)2 + 1)y = 0
y obtenga una segunda soluci´
on y2 (t) que sea linealmente independiente de y1 .b) Usando el m´etodo de variaci´
on de par´ametros, resuelva el problema de valores iniciales
y −

2
1
)y = 2t + 2,
y + 2(2 +
t+1
(t + 1)2

y(0) = y (0) = 1.

Soluci´
on:
Verificaci´
on de que y1 es soluci´
on:
Cualquiera de las siguientes alternativas da :
Pueden darse cuenta por inspecci´on que y2 (t) = (t + 1) cos(2t) es soluci´on y es l.i. con y1 . En
este caso deben comprobar que y2 essoluci´on.
Pueden poner y2 (t) = c(t)y1 (t) y calcular c(t) y mostrar que es l.i. con y1 .
Pueden usar la f´
ormula de Abel para calcular y2 y mostrar que es l.i. con y1 .
y2 (t) = y1 (t)

e

2/(t+1)

y12

Variaci´on de par´
ametros:
Pueden poner y(t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) donde
c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) = 0,

c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) = 2(t + 1).

y resolver:
c1 (t) = cos 2t,

c2 (t) = − sin2t,

lo que integrando por partes da
c1 (t) =

1
sin 2t,
2

c2 (t) =

1
cos 2t,
2

luego
yp (t) =

t+1
,
2

luego la soluci´
on general es
y(t) =
y calcular A = 0, B =

1
2

t+1
+ A(t + 1) sin 2t + B(t + 1) cos 2t
2

para satisfacer las c.i.

Pueden usar la f´
ormula

x

yp (x) =

G(x, t)(2t + 2)dt,
0

donde

G(x, t) =

=

(t + 1) sin 2t (t + 1) cos 2t
(x + 1) sin 2x (x + 1) cos 2x

y1 (t) y2(t)
y1 (x) y2 (x)

=
y1 (t) y2 (t)
(t + 1) sin 2t
(t + 1) cos 2t
y1 (t) y2 (t)
2(t + 1) cos 2t + sin 2t −2(t + 1) sin 2t + cos 2t
(x + 1)(t + 1) sin(2t − 2x)
x+1
=−
sin(2t − 2x),
−2(t + 1)2
2(t + 1)

y as´ı,
x

sin(2t − 2x)dt

yp (x) = −(x + 1)
0

cos(2t − 2x) x
2
0
1 cos(2x)
−
.
= (x + 1)
2
2

= (x + 1)

Luego la soluci´
on general es
y(x) =
y deben calcular A = 0 y B =
2.

x+1
+ A(x + 1) sin 2x +B(x + 1) cos 2x
2
1
2

para satisfacer las c.i.

a) Usar el m´etodo de los coeficientes indeterminados para resolver la ecuaci´on
y + 2y + y = e−t + 3t + 1
b) Hallar los valores de α y β para que el problema de valores iniciales
y + 3y − 10y = 0,

y(0) = α, y (0) = β

tenga una soluci´
on no trivial (y ≡ 0) para la cual t = 0 sea un punto de inflexi´on.
Soluci´
on:
a) El polinomio caracter´ısticoasociado a la ecuaci´on homog´enea es λ2 + 2λ + 1 = (λ + 1)2 , luego
e−t y te−t son una base para el espacio soluci´on de la ecuaci´on homog´enea, y se tiene que
una soluci´
on particular de la ecuaci´on no homog´enea es de la forma
y(t) = At2 e−t + Bt + C.
Reemplazando en la ecuaci´
on da
1
A= ,
2

B = 3,

C = −5.

As´ı, la soluci´
on general de la ecuaci´on dada es
1
y(t) = t2 e−t + 3t − 5 + ae−t+ bte−t .
2

b) La condici´
on de soluci´
on no trivial es (α, β) = (0, 0). El polinomio caracter´ıstico asociado a
2
la ecuaci´
on dada es λ + 3λ − 10 = (λ + 5)(λ − 2), luego la soluci´on general de la ecuaci´
on
dada es
y(t) = Ae−5t + Be2t .
Para satisfacer las condiciones iniciales se debe tener
A + B = α,

−5A + 2B = β,

lo que da
2α − β
5α + β
,
B=
.
7
7
La condici´
on de punto deinflexi´on es y (0) = 0, lo que da
A=

25

5α + β
2α − β
+4
= 0,
7
7

de donde la condici´
on es
10α − 3β = 0.
(Notar que y (0) = −125A + 8B = 0, de manera que (0, α) es un punto de inflexi´
on para
estos valores de (α, β))
3. Una masa de 1 Kg.est´
a sujeta a un resorte cuya constante es 9 N/m. El medio ofrece una resistencia
al movimiento num´ericamente igual a 6 veces la velocidad instant´anea. La masa sesuelta desde
un punto que est´
a 2 m sobre la posici´on de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de
v0 m/seg.. Determinar los valores de v0 de modo que posteriormente la masa pase por la posici´
on
de equilibrio.
(Las unidades est´
an todas expresadas en el Sistema Internacional de Unidades.)
Soluci´
on:
El Problema de Valores Inciales que modela el movimiento de este oscilador...