I2 2015 01 Pauta

Pontificia Universidad Cat´
olica de Chile
Facultad de Ciencias Econ´
omicas y Administrativas
Primer Semestre 2015
Curso
Sigla
Profesores

:
:
:

Probabilidad y Estad´ıstica
EAS200A
´
Rafael Aguila
(Sec 01), Osvaldo Ferreiro (Sec 02), Ricardo Olea (Sec 03) y
Victor Correa (Sec 04)

Pauta Interrogaci´
on 2

Pregunta 1
Si un proceso productivo est´
a bajo control entonces, la probabilidad de queun art´ıculo sea defectuoso es
solo del 1 %, sin embargo cuando est´
a fuera de control, esta probabilidad sube al 10 %. Se sabe adem´as que
la probabilidad que el proceso este fuera de control es del 5 %. Los art´ıculos se envasan en cajas de 10 unidades.
Se selecciona una caja al azar y se define la variable aleatoria X como el n´
umero de art´ıculos defectuosos en
una caja.
(a) [1.0 Ptos] ¿Qu´edistribuci´
on se puede asumir para X cuando el proceso est´a bajo control?
(b) [1,0 Ptos] ¿Qu´e distribuci´
on se puede asumir para X cuando el proceso est´a fuera control?
(c) [2.0 Ptos] ¿Cu´
al es la probabilidad que la caja, contenga 1 art´ıculo defectuoso?
(d) [2.0 Ptos] Al inspeccionar una caja seleccionada al azar, result´o que conten´ıa un art´ıculo defectuoso.
¿Cu´
al es la probabilidadde que la caja provenga de un proceso fuera de control?
Soluci´
on
Definamos como A al evento (o suceso) en que el proceso productibo est´a bajo control.
(a) Tenemos que
XA ∼ Binomial(n = 10, π = 0,01)

[1.0 Ptos]

XA ∼ Binomial(n = 10, π = 0,10)

[1.0 Ptos]

(b) Tenemos que

(c) Se pide P (X = 1). Por teorema de probabilidades totales tenemos que:
P (X = 1) = P (XA = 1) · P (A) + P (XA = 1) · P(A)
=

[0.5 Ptos]

10
10
× 0,011 × (1 − 0,01)10−1 × 0,95 +
× 0,101 × (1 − 0,10)10−1 × 0,05
1
1

= 0,09135172 · 0,95 + 0,3874205 · 0,05
= 0,1061552

[0.5 Ptos]

[0.5 Ptos]

[0.5 Ptos]

(d) Se pide
[1.0 Ptos]

P (A | X = 1) =

P (X = 1 | A) · P (A)
0,3874205 · 0,05
=
= 0,1824784
P (X = 1)
0,1061552

[1.0 Ptos]

+ 1 Punto Base

EAS200A - Probabilidad y Estad´ıstica

1

Primer Semestre 2015

Pregunta2
Suponga que las notas X de una prueba que rindieron 300 alumnos en un curso se comportan aproximadamente como una Normal de media 4,2 y desviasi´on est´andar 0,6.
(a) [2.0 Ptos] ¿Cu´
antos alumnos obtuvieron calificaciones superiores a 4,0?
Los profesores creen que la prueba estuvo dif´ıcil, por lo cual tienen pensado ajustar la nota obtenida X de
la siguiente manera:
Y = a X + b, a > 0
(b) [2.0Ptos] ¿Qu´e valores deben asignarse a las constantes a y b de manera que las nuevas calificaciones
Y tengan una media igual a 5,3 con una desviaci´on est´andar 0,3?
(c) [2.0 Ptos] Encuentre la nota k que es superada por el 90 % de las calificaciones ajustadas.
Soluci´
on
(a) Sea π la probabilidad que una prueba cualquiera sea superior a 4,0.
π = P (X > 4,0) = 1 − Φ

4,0 − 4,2
0,6

= 1 − Φ(−1/3) =Φ(1/3) = 0,6293

[1.0 Ptos]

Luego, 300 · π = 188,79 ≈ 189 alumnos obtuvieron calificaciones superiores a 4,0.

[1.0 Ptos]

(b) Se requiere que
E(Y ) = a E(X) + b = a · 4,2 + b = 5,3

[0.5 Ptos]

Var(Y ) = a2 Var(X) = a2 · 0,62 = 0,32

[0.5 Ptos]

y
Resolviendo se tiene que
[0.5 Ptos]

a = 0,5

y

b = 3,2

[0.5 Ptos]

(c) Se pide el valor k tal que
[0.5 Ptos]

P (Y ≤ k) = 0,1 →

k − 5,3
≈ −1,280,3
→ k ≈ 4,916

[1.0 Ptos]
[0.5 Ptos]
+ 1 Punto Base

EAS200A - Probabilidad y Estad´ıstica

2

Primer Semestre 2015

Pregunta 3
Ud. est´
a a cargo de supervisar la llegada de veh´ıculos a una planta de revisi´on t´ecnica. Datos hist´oricos
muestran que cada seis minutos se espera que lleguen a la planta cuatro veh´ıculos.
(a) [1.0 Ptos] Plantee una distribuci´
on que Ud. considere adecuada para eln´
umero de veh´ıculos que llegan
en 2 minutos.
(b) [1.5 Ptos] Determine la probabilidad de que no lleguen veh´ıculos en medio minuto. Determine esta
probabilidad primero mediante una distribuci´on de tipo discreto y luego mediante una distribuci´
on
continua.
(c) [1.5 Ptos] Determine la probabilidad de que en 50 segs. llegue al menos 1 veh´ıculo dado que ya se han
observado 25 segs. sin...