IDENTIDAD DE EULER
Páginas: 2 (262 palabras)
Publicado: 16 de abril de 2013
IDENTIDAD DE EULER
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados enla historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:
donde:
π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longituddel círculo con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
e (número de Euler) es el límite de la sucesión , que aparece ennumerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendental.
i (unidad imaginaria) es la raíz cuadradade -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Estaidentidad se puede emplear para calcular π:
Derivación
Fórmula de Euler para un ángulo general.
La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cualespecifica que
para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman enradianes.) En particular si
entonces
yya que
y que
se sigue que
Lo cual implica la identidad
________________________________________
Para una forma alternativa de notar que la identidad deEuler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:
en la expansión polinomial de e a la potencia x:
para obtener:
simplificando (usando i2 = -1):
Alseparar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:
Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados enla historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:
donde:
π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longituddel círculo con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
e (número de Euler) es el límite de la sucesión , que aparece ennumerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendental.
i (unidad imaginaria) es la raíz cuadradade -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Estaidentidad se puede emplear para calcular π:
Derivación
Fórmula de Euler para un ángulo general.
La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cualespecifica que
para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman enradianes.) En particular si
entonces
yya que
y que
se sigue que
Lo cual implica la identidad
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Para una forma alternativa de notar que la identidad deEuler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:
en la expansión polinomial de e a la potencia x:
para obtener:
simplificando (usando i2 = -1):
Alseparar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:
Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica
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