Identidades trigonometricas

Identidades trigonométricas
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Una ide ntidad trigonomé trica es una igualdad entre expresiones que
contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del
ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas
involucradas).
Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo aplica para las demás
funcionestrigonométricas.

Índice
1 Relaciones básicas
2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
3 Identidades del ángulo múltiple
3.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio
3.2 Producto infinito de Euler
4 Identidades para la reducción de exponentes
5 Paso de producto a suma
5.1 Deducción de la identidad
6 Paso de suma a producto
7 Paso de diferencia de cuadrados a producto
7.1 Deducción8 Eliminar seno y coseno
9 Funciones trigonométricas inversas
9.1 Composición de funciones trigonométricas
10 Fórmula de productos infinitos
11 Fórmula de Euler
12 Inicio del teorema del Coseno
13 Teorema del seno
13.1 Demostración
13.2 Aplicación
14 Definiciones exponenciales
15 Véase también
16 Referencias
17 Enlaces externos

T odas las func iones en O.

Identidadestrigonométric as fundamentales , y c ómo
c onvertir de una func ión trigonométric a a otra.

Relaciones básicas
Re lación pitagórica
Ide ntidad de la razón
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver
el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si
la conversión propuesta en la tabla indica que
, aunque esposible que
. Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funcione s trigonomé tricas e n función de las otras cinco.
En té rminos de

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquiercombinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están
desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada ide ntidad trigonomé trica fundame ntal, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy
útiles para problemas introductorios del tipo conocidoel valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

Eje mplo 2:

Utilizando la identidad

Entonces:

Perosustituimos en

:

Realizamos las operaciones necesarias y queda:

Entonces los cosenos se hacen 1 y queda

Y queda demostrado.
El resto de las funciones se realiza de manera análoga.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del
cociente entre coseno yseno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es el n- simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea
) en lasidentidades anteriores, y usando el teorema de
Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la
Fórmula de De Moivre cuando
.
Fórmula de l ángulo doble

Fórmula de l ángulo triple

Fórmula de l ángulo me dio

Producto infinito de Euler

Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las...