identidades trigonometricas

TRIGONOMETRÍA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

SEGUNDO SEMESTRE

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

3.1 FÓRMULAS FUNDAMENTALES

La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a
deducir, llamadas fórmulas trigonométricas.
Se parte de las definiciones elementales (las cuales seestudiaron en la secundaria) de cada una
de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.

sen θ =

y
r

;

cos θ =

x
r

tan θ =

y
x

;

cot θ =

x
y

r
x

;

sec θ =

csc θ =

r
y

r

y
θ

x
figura 31

3.1.1) FÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS
Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entresí dan
como resultado el elemento neutro de esa operación.
Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado
a todo número. De manera que el inverso del número + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan
como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En
la multiplicación, el elemento neutro es eluno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicación

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a cualquier número. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de la multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo .
Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco .
De tal manera que el significadoque a las siguientes seis fórmulas se le va a dar al término inverso es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de
la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es el inverso multiplicativo de otro número m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje que

n=

1
m

o bien

m=

1n

Puede verse en las relaciones trigonométricas de la página 40 que la función seno y la función
cosecante son recíprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicación se obtiene

y r
i
= 1 ; igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su
r
y
multiplicación se obtiene

x r
i
= 1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tamr xbién lo son, ya que de su multiplicación se obtiene

y x
i
= 1 . De manera que las primeras
x y

seis fórmulas trigonométricas, llamadas por eso de los inversos o recíprocos , son:

1
○

sen θ =

1
csc θ

2
○

cos θ =

1
sec θ

3
○

tan θ =

1
cot θ

4
○

cot θ =

1
tan θ

5
○

sec θ =

1
cos θ

6
○

csc θ =

1
sen θ

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A las fórmulas anteriores también se les conoce con el nombre de fórmulas de los recíprocos ya
que, en particular, a los inversos multiplicativos se les llama recíprocos. Dos números son recíprocos si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3
son recíprocos; 2/9 y 9/2 son recíprocos. Es claro que si semultiplican entre sí dan la unidad, o
sea el elemento neutro de la multiplicación, por lo que, conforme a la definición de la página 40,
los recíprocos son también inversos. ¡Cuidado: los inversos son también recíprocos solamente
en la multiplicación!.

3.1.2 FÓRMULAS DEL COCIENTE
Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, página 40) se tiene que:

y
sen θ
yr
y
= r =
=
= tan θ
xcos θ
xr
x
r
e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:

x
cos θ
xr
x
= r =
=
= cot θ
y
sen θ
yr
y
r
De manera que las siguientes dos fórmulas, llamadas del cociente, son:

7
○

sen θ
= tan θ
cos θ

8
○

cos θ
= cot θ
sen θ

3.1.3 FÓRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGÓRICAS
Aplicando el teorema de Pitágoras a la figura 31 de la página 40, se...