identidades trigonometricas

se definen a partir del análisis del círculo trigonométrico unitario, analizado en el capítulo anterior.
1. Identidad fundamental, partiendo del teorema de pitágoras y la relación de los lados deltriángulo.
h = 1 radio de la circunferencia unidad 2 22 2 2 x y1x yh = +⇒= + Pero: y ( )sen h y ( )sen α= =⇒α x( )cos h x ( )cos α= =⇒α
Si reemplazamos x e y en la ecuación de Pitágoras, tenemos:Como: .1 ( )sen( )cos1x y 222 2 α= α+⇒+ = Luego la identidad fundamental es:
1( )cos( )sen 22 α= α+
A partir de ésta se pueden obtener otras identidades.
2. Identidades de cociente, sabemos que: ,h x ( )cosy h y ( )sen α= α= si hacemos el cociente ( ) cos ( )sen α α
tenemos:
x y
h
x
h
y
( )cos ( )sen
= =
α α
. Este cociente por definición es ( ) tan α , luego:
( )cos ( )sen
()tan
α α
α=
α
h
y
x
DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
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Ahora realicemos los mismo, pero al contrario, es decir: ( ) sen ( )cos α α
, entonces:
y x
h
y
h
x
( )sen ( )cos
= =
α α
.Cociente que por definición es ( ) cot α , luego:
( )sen ( )cos
( )cot
α α
α=
3. Identidades recíprocas: se llaman así debido a que por definición, al intercambiar los términos del cociente de larelación trigonométrica se obtienen éstas. Veámos:
( )cscy( )senentonces;
y h
( )cscy
h y ( )sen αα α=α=
son recíprocas, luego: ( ) csc 1 ( )sen α α= . Lo mismo con las demás.
x h
( )secy
h x( )cos α= α= , entonces ( ) secy( )cos αα son recíprocas. En general:
( )csc 1
( )sen
α
α=
( )sen 1
( )csc:también
α
α=
( )sec 1
( )cos
α
α=
( )cos 1
( )sec:también
α
α=
( )cot 1( )tan
α
α=
( )tan 1
( )cot:también
α
α=
4. Identidades pitagóricas: a partir de la identidad fundamental, a veces llamada también pitagórica, se puede obtener las llamadas identidadespitagóricas.
Si dividimos la identidad fundamental por ( ) cos α , tenemos otra identidad:
300
( )sec1( )tan
( )cos 1
( )cos ( )cos
( )cos ( )sen 22 22 2 2 2 α+ =⇒α α = α α + α α
, entonces:
(...