identidades
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Publicado: 29 de mayo de 2013
Identidades logarítmicas
Artículo principal: Identidades logarítmicas.
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmode un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo deuna potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo delradicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Identidades algebraicas
Con operaciones simples
Los logaritmos son generalmente utilizadospara hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, dos números pueden ser multiplicados utilizando una tabla de logaritmos y sumando.
porque
porque
porque
porqueCancelando exponentes
Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.
porque
porque
Cambio de base
Esta identidad es requerida para evaluarlogaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores sólo pueden procesar ln y log10, pero no por ejemplo log2. Para encontrar log2(3), basta calcular log10(3) / log10(2) (ó bien ln(3)/ln(2),que da idéntico resultado).
Consecuencias
Esta fórmula tiene varias consecuencias:
Identidades triviales
porque
porque
Identidades de cálculo
Límites El último límite es sumarizado frecuentemente como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier poder o raíz de x".
Derivadas de funciones logarítmicas
Integrales defunciones logarítmicas
Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:
Donde es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:
Entonces,
Artículo principal: Identidades logarítmicas.
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmode un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo deuna potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo delradicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Identidades algebraicas
Con operaciones simples
Los logaritmos son generalmente utilizadospara hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, dos números pueden ser multiplicados utilizando una tabla de logaritmos y sumando.
porque
porque
porque
porqueCancelando exponentes
Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.
porque
porque
Cambio de base
Esta identidad es requerida para evaluarlogaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores sólo pueden procesar ln y log10, pero no por ejemplo log2. Para encontrar log2(3), basta calcular log10(3) / log10(2) (ó bien ln(3)/ln(2),que da idéntico resultado).
Consecuencias
Esta fórmula tiene varias consecuencias:
Identidades triviales
porque
porque
Identidades de cálculo
Límites El último límite es sumarizado frecuentemente como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier poder o raíz de x".
Derivadas de funciones logarítmicas
Integrales defunciones logarítmicas
Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:
Donde es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:
Entonces,
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