identidades





Identidades trigonométricas


Todas las funciones en  O.


Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticasinvolucradas).
Notación: se define sin2α como (sin α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
Índice
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1 Relaciones básicas
2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
3 Identidades del ángulo múltiple
4 Identidades del ángulo doble, triple y medio
4.1 Producto infinito de Euler
5 Identidades para la reducción de exponentes
6 Paso de producto a suma6.1 Deducción de la identidad
7 Paso de suma a producto
8 Paso de diferencia de cuadrados a producto
9 Eliminar seno y coseno
10 Funciones trigonométricas inversas
10.1 Composición de funciones trigonométricas
11 Fórmula de productos infinitos
12 Fórmula de Euler
13 Inicio del teorema del Coseno
14 Teorema del seno
14.1 Demostración
14.2 Aplicación
15 Definiciones exponenciales
16 Véase también17 Referencias
18 Enlaces externos
Relaciones básicas[editar]
Relación pitagórica

Identidad de la razón

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si  la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la únicarespuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En términos de
















































De las definiciones de las funciones trigonométricas:


Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:


Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muyútiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:


Ejemplo 2:Utilizando la identidad


Entonces:
(*)

substituyendo en (*):

Realizando las operaciones necesarias se llega a:


Y queda demostrado.
El resto de las funciones se realiza de manera análoga.
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos[editar]
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge delcociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.



De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:





Para ángulos complementarios:






Para ángulos opuestos:






Identidades del ángulo múltiple[editar]
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades del ángulo doble, triple ymedio[editar]
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando .
Fórmula del ángulo doble




Fórmula del ángulo triple



 
Fórmula del ángulo medio




Producto infinito...