identidadestrigonometricas 140225203306 phpapp01

3
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
3.1FÓRMULAS FUNDAMENTALES
La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a deducir, llamadas fórmulas trigonométricas.
Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.
4892042-196335θ
x
y
r
θ
xy
r
yx senθ=;cosθ= rr yx tanθ=;cotθ= xy rr secθ=;cscθ= xy
figura 31
3.1.1) FÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS
Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan como resultado el elemento neutro de esa operación.
Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado a todo número. De maneraque el inverso del número + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicación a cualquier número. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de lamultiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo . Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco .
De tal manera que el significado que a las siguientes seis fórmulas se le va a dar al término inverso es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es elinverso multiplicativo de otro número m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje que
11 n= o bien m= mn
Puede verse en las relaciones trigonométricas de la página 40 que la función seno y la función cosecante son recíprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicación se obtiene yr
39090884406r y =1; igualmente el coseno con la secanteson inversos multiplicativos, ya que de su
xr
2001776105113multiplicación se obtiene r x =1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tam-
yx
365912685361bién lo son, ya que de su multiplicación se obtiene x y =1 . De manera que las primeras seis fórmulas trigonométricas, llamadas por eso de los inversos o recíprocos , son:
○1 senθ= ○2 1 cosθ= secθ
○3 1 tanθ= cotθ○4 cotθ=
○5 secθ= ○6 1 cscθ= senθ
A las fórmulas anteriores también se les conoce con el nombre de fórmulas de los recíprocos ya que, en particular, a los inversos multiplicativos se les llama recíprocos. Dos números son recíprocos si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3 son recíprocos; 2/9 y 9/2 son recíprocos. Es claro que si se multiplicanentre sí dan la unidad, o sea el elemento neutro de la multiplicación, por lo que, conforme a la definición de la página 40, los recíprocos son también inversos. ¡Cuidado: los inversos son también recíprocos solamente en la multiplicación!.
3.1.2 FÓRMULAS DEL COCIENTE
Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, página 40) se tiene que: y
1869950-53663senθ = r = yr = y =tanθ
cosθ xxrxr
e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:
x
1859282-53410cosθ = r = xr = x = cotθ senθ y yr y
r
De manera que las siguientes dos fórmulas, llamadas del cociente, son:
○7senθ =tanθ
cosθ
○8cosθ = cotθ
senθ
3.1.3 FÓRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGÓRICAS
Aplicando el teorema de Pitágoras a la figura 31 de la página 40, se tiene que
(A)r2 =x2 + y2
a) Dividiendo laigualdad (A) entre r 2 , aplicando la propiedad de las igualdades: "Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:
r2x2y2
2676908191662 = r2 + r2 r
simplificando:
2893316217950x2y2 1= r2 + r2
que se puede escribir como
1=⎛⎜⎝ rx ⎞⎟⎠2 +⎛⎜⎝ ry ⎞⎟⎠2
pero como
xy
= cosθ y además= senθ(ver figura 31, página 40) rr
se llega a la novena...