IdentidadesTrigonometricas

Profr. Efraín Soto Apolinar.

1

Identidades Trigonométricas

No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son
todavía mayores.
Albert Einstein.

2

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones que caracterizan a un ángulo α. Estas funciones se
definen a partir de un triángulo rectángulo, de acuerdo a las proporciones de sus lados.r

y

α

✓ sin α =

y
r

✓ csc α =

✓ cos α =

x
r

✓ sec α =

✓ tan α =

y
x

x

r
y

r
x
x
✓ cot α =
y

Puede encontrar la interpretación geométrica de las funciones trigonométricas en la página ??.

2.1

Identidades Recíprocas

Las demostraciones de las siguientes identidades es muy sencilla. Basta sustituir las definiciones
para verificar que se cumple la igualdad en cada una de ellas.
1) sinα =

1
=
csc α

1
r
y

2) cos α =

1
=
sec α

1
r
x

3) tan α =

1
=
cot α

1
x
y

=

y
r

=

x
r

=

y
x

La siguiente identidad es también evidente.
sin α
cos α
Para demostrar esta identidad, escribimos:

✓ tan α =

y
tan α = =
x

y
r
x
r

=

sin α
cos α

La división por r está justificada porque r > 0.
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2.2

Propiedades de lasfunciones trigonométricas

Estas propiedades son evidentes al graficar las funciones trigonométricas a partir del círculo unitario.
1) sin α = cos(90o − α)

4) cot α = tan(90o − α)

2) cos α = sin(90o − α)

5) csc α = sec(90o − α)

3) tan α = cot(90o − α)

6) sec α = csc(90o − α)

2.3

Identidades trigonométricas pitagóricas

Para demostrar cada una de las siguientes debemos recordar cómo sedefinen las funciones
trigonométricas.
1) sin2 α + cos2 α = 1
Por definición: sin α =

x
y
, y cos α = , pero por el teorema de Pitágoras, x, y, r satisfacen:
r
r
x 2 + y2
x2
y2
+
r2
r2
y 2
x 2
+
r
r
cos2 α + sin2 α

Dividir por

r2

= r2
r2
= 2
r
= 1
= 1

es siempre válido, dado que r > 0.

Esta es la primera identidad trigonométrica pitagórica.
2) sec2 α = 1 + tan2 α
Dividimos ambos lados de laidentidad anterior entre cos2 α, y obtenemos:
sin2 α + cos2 α
sin2 α
cos2 α
+
2
cos α cos2 α
sin α 2
cos α 2
+
cos α
cos α
tan2 α + 1

= 1
=
=

1
cos2 α
1
cos α

2

= sec2 α

3) csc2 α = 1 + cot2 α
La tercera identidad trigonométrica pitagórica se obtiene de manera similar a la segunda. En
este caso dividimos ambos lados de la primera identidad trigonométrica por sin2 α:
sin2 α + cos2 α
sin2 α cos2 α+
sin2 α
sin2 α
sin α 2
cos α 2
+
sin α
sin α
1 + cot2 α

= 1
=
=

1
sin2 α
1
sin α

2

= csc2 α

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2.4

Identidades de suma y diferencia de ángulos

1) sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
Para demostrar esta identidad, empezamos dibujando los ángulos α y β de manera que podamos apreciar la suma de los dos:
y

1

β
α

x

Ahora nosbasamos en la interpretación geométrica de las funciones básicas: Observe que la
proyección de cada uno de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa
multiplicada por una función trigonométrica, seno para la componente vertical y coseno para
la componente horizontal.
Basándonos en este hecho es muy sencillo deducir el siguiente diagrama:
y

cos

α
sin β cos α

1

β

β
α
cos βcos α

cos β sin α

β
sin

sin β sin α

x

En este diagrama, podemos dibujar un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud 1, el
cual se muestra en el siguiente diagrama:

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y

cos

α
sin β cos α

1

β

β
α
cos β cos α

cos β sin α

sin

β

sin β sin α

x

Y de acuerdo a la interpretación geométrica de las funcionestrigonométricas básicas, dada en
la página ??, la proyección vertical es equivalente a sin(α + β).
Encontrando el resultado buscado:
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
Lo cual se muestra a la derecha de la figura.
2) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Utilizando la figura de la identidad anterior, podemos fácilmente ver que la proyección horizontal es cos(α + β), y este resultado es: cos(α + β) =...