Identificacion de superficies

IDENTIFICACIÓN DE SUPERFICES CUÁDRICAS

LUIS HUMBERTO SORIANO SÁNCHEZ Captura: Hanna Leslye García Guerra Evelyn Salazar Guerrero

IDENTIFICACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS Definición. Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma F(x, y, z) = 0 Definición. Se llama superficie cuádrica, o simplementecuádrica, aquella cuya ecuación es de la forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 .......... (a) En donde, por lo menos, de los seis coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero. Las superficies se clasifican en: i) ii) iii) iv) v) Elipsoides. Paraboloides. Cilindros. Conos Hiperboloides.

En el caso de que los tres coeficientes D, E y F sean nulos simultáneamente, el ejeo los ejes de la superficie son paralelos a los ejes coordenados. En estas circunstancias, los signos de los coeficientes A, B y C permiten hacer una pre-identificación de la superficie: Si A, B y C tienen el mismo signo, la ecuación representa un elipsoide.

Como un caso particular, la ecuación puede representar un punto. Por ejemplo, la ecuación (x − 1)2 + (y + 3)2 + z 2 = 0 representa alpunto de coordenadas (1, -3, 0). También, puede representar el caso de que la ecuación no represente lugar geométrico alguno. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + z2 + 16 = 0 no representa lugar geométrico alguno ya que no existen valores reales de x, y y z que la satisfagan. Si dos de los coeficientes son positivos y el otro es negativo, la ecuación representa un hiperboloide o un cono.
Z Z

Y XX

Y

x 2 + y 2 − z2 = 1

x 2 + y 2 − z2 = 0

Si uno de los coeficientes A, B o C es nulo, la ecuación representa un paraboloide.
Z

X

Y

x2 + y2 − z = 0

Si dos coeficientes A, B o C son nulos, la ecuación representa un cilindro parabólico.
Z X Y

4x 2 + y + 4z = 0

Si los coeficientes A, B y C son nulos, la ecuación representa un plano (en este caso, la superficie noes cuádrica).
Z

2 6 Y 3 X

2x + y + 3z − 6 = 0

Si la ecuación (a) consta tan solo de dos variables, representa un cilindro recto cuya recta generatriz es perpendicular al plano coordenado cuyas variables aparecen en la ecuación. En esta situación, el cilindro toma el nombre de la curva directriz.
Z

x2 + y2 = 4
Cilindro circular recto

Y

X

Como un caso particular, la ecuaciónpuede representar un par de planos que se cortan o una recta paralela a un eje coordenado.
Y Z

L:

X=1 Y=2

X Z

Y

X

x2 − y2 = 0
Dos planos que se cortan

(x − 1)2 + (y − 2)2 = 0
Recta paralela al eje Z

Si la ecuación (a) consta de tan solo una variable, representa uno o dos planos paralelos a alguno de los planos coordenados (en este caso, tampoco se trata de una cuádrica).Z

2 Y X -2

Z − 4 = 0 ⇒ Z = 2 y Z = −2

Para identificar con toda precisión a la superficie, se pueden completar trinomios cuadrados perfectos en la ecuación (a) y se hace referencia a las siguientes:

Gráficas y ecuaciones representativas de las superficies cuádricas. 1. ELIPSOIDE.

En caso de que las coordenadas del centro sean (h, k, l): (x − h)2 (y − k)2 (z − l)2 + + =1 a2 b2 c2En caso de que dos semi-ejes sean iguales (a = b, por ejemplo), se trata de un elipsoide circular o de revolución. En caso de q ue dos de los semi-ejes sean iguales (a=b, por ejemplo), se trata de un elipsoide circular o de revolución. En caso de que los tres semi-ejes sean iguales (a=b=c), se trata de una esfera. Las trazas en los planos paralelos a los planos coordenados son elipses (ocircunferencias).

PARABOLOIDE ELÍPICO.
Z

Y X

En caso de que las coordenadas del vértice sean (h, k, l): (x − h)2 (y − k)2 z − l + = c a2 b2 En caso de que a = b, se trata de un paraboloide circular o de revolución. La traza en el plano z = 1 es el punto de coordenadas (h, k, l). Las trazas en planos paralelos al plano xy son elipses (o circunferencias). Las trazas en planos paralelos axz y yz...