Ieee estudio de casos

Implementación de las Leyes Estabilizadoras de Control

¿CUÁNTOS BLOQUES DE CONTROL SE NECESITAN PARA UNA BUENA IMPLEMENTACION UNIVERSAL?

(Nombres)
Luis J. López

A
l estudiar las leyes de control se viene la siguiente pregunta: ¿cuántos bloques de control son necesarios para implementar una ley de control? El punto de partida para resolver esta pregunta se basa en distinguir lo que esuna ley de control y la implementación de una ley de control. Se toma como ejemplo una planta P con una señal de control u, y una salida “y”, un controlador u genera una señal de salida y, y una señal de referencia r de tal manera que el controlador tiene la siguiente forma:
u=Crr-Cyy
Donde Cr y Cy son funciones de transferencia, que forman la ganancia de la ley de control. Esta función semuestra en la Figura 1 .Se dice que una ley de control es estable si todas las funciones de transferencia de lazo cerrado son estables. Están dadas por:
uy=Cr1+PCy-PCy1+PCy-Cy1+PCyPCr1+PCyP1+PCy11+PCyrdido

Hay casos especiales en los que por ejemplo cuando Cr=Cy y es necesario incluir funciones de transferencia de lazo cerrado a la ley de control, estabilizando el sistema si se cumplen trespropiedades.
1. Todos los bloques del controlador son adecuados.
2. En un sistema retroalimentado todas las funciones de transferencia de lazo cerrado son definidas.
3. Estas funciones de transferencia deben ser estables.

FIGURA 1 (a) Planta P con entrada u, salida y y ley de control u=Crr-Cyy. (b) El mismo sistema con entradas y salidas con perturbaciones di y do, respectivamente

Paraejemplo se considera una planta
P=1s-1
Con un controlador u con
Crs=1+ss Cys=3s+1s
Para este ejemplo las 6 funciones de transferencia son estables por lo tanto también la ley de control, en cambio si la función de transferencia Cr fuera inestable la ley de control seria inestable, las condiciones cambian según los cambios la ley de control.

UNA PARAMETRIZACIÓN DE TODAS LAS LEYES DECONTROL DE ESTABILIZACIÓN
La respuesta a la primera pregunta (¿Cuántos bloques controladores son necesarios para implementar una ley de control arbitraria?) es dada por la planta
Ps=1s-1
Y por la ley de control
u=Crr-Cyy
De donde se sabe que
Crs=s+1s , Cys=3s+1s
Dichas respuestas están basadas en la aplicación de la parametrización para todas las leyes de control de estabilización. Dichaley nos menciona que, para una planta P, existe un CstabP, el cual contiene la configuración de las ganancias de la ley de control de estabilización
CstabP≔{Cr, Cy: ley de control u=Crr-Cyy está estabilizada}
Esto quiere decir que obtendremos Cstab hasta que Cr y Cy sean tales que la ley de control u esté estabilizada
A continuación desarrollaremos la parametrización para CstabP. Adoptamos a Spara denominar la configuración de las propiedades estables para las diversas funciones de transferencia. Ahora como sabemos que para toda P existe N, M, X, Y ∈ S que satisfaga que
Ps=NsMs
Y también
NsXs+MsYs=1
Ahora, las funciones de transferencia Ns y Ms son relativamente primas de S, y la factorización de P en las ecuaciones anteriores es una factorización relativamente prima, por lotanto el algoritmo existe para determinar N, M, X, Y ahora sabiendo esto podemos parametrizar CstabP por medio de
CstabP={QrY-NQy,X+MQyY-NQy: Qr, Qy ∈ S}
Esta parametrización genera una configuración completa de las leyes de control de estabilización en el sentido de cada par (Qr, Qy). Se enfatizo que la parametrizacion se relaciona con las leyes de control de estabilización, pero estaparametrización no afecta en nada a la implementación de dichas leyes de control.
Para demostrar lo hablado acerca de la parametrización, consideremos otra vez la planta descrita al inicio. Una parametrización relativamente prima seria
Ns=1s+1 Ms=s-1s+1

Xs=4s+1 Ys=s+3s+1

Tomando en cuenta lo que obtuvimos de Cstab podemos obtener que
Qrs=1, Qys=3 obtenemos lo que se tomo en un...