ig. civil

Dinámica del sólido rígido
Un sólido rígido es un sistema en el que las distancias y orientaciones relativas entre las
partículas que lo componen se mantienen invariables, conservando su forma. Su movimiento se
puede descomponer en dos: uno de traslación (movimiento de su centro de masas) y otro de
rotación (movimiento circular de las partículas alrededor del llamado eje de rotación).Momento angular de un cuerpo rígido
La partícula en Ai describe un círculo de radio Ri = AiBi, con una
velocidad

v i = ω × ri ⇒ vi = ω ri sen θ i = ω Ri

Z

El momento angular de la partícula respecto al punto O es:
ω
Bi

Li = mi ri × vi
Ri

Liz

Ai
θi

Li
π/2
O

ri

vi

Su dirección es perpendicular a ri y vi y está en el plano determinado
por ri y el eje Z. Con este ejeforma un ángulo de π/2-θi. Como ri y vi
forman un ángulo π/2, el módulo del momento angular es:

Li = mi ri vi sen

π

2

= mi ri vi

cuya componente a lo largo del eje Z la podemos poner:

π

Liz = mi ri vi cos  − θ i  = mi (ri sen θ i )ω Ri = mi ω Ri2
2

1

Ejemplo: Lanzamiento de un balón y una mordaza

2

Momento de inercia
La componente del momento angulartotal a lo largo de Z es:

(

)

2
2
2
2
Lz = ∑ Liz = m1 ω R1 + m2 ω R2 + m3 ω R3 + ... = m1 R12 + m2 R2 + m3 R32 + ... ω
i


=  ∑ mi Ri2  ω

 i

La expresión entre paréntesis se denomina momento de inercia del cuerpo respecto al eje Z y se
escribe Iz. Podemos por tanto escribir la expresión para el momento angular como:

Lz = I z ω

El momento angular total de un cuerpoes:

L = L1 + L2 + L3 + ... = ∑ Li
i

y no tiene por qué ser paralelo al eje de rotación, ya que los momentos de cada una de las
partículas no son, en general, paralelos a dicho eje.
Sin embargo, para cualquier cuerpo, sin importar su forma, siempre hay, al menos, tres ejes,
mutuamente perpendiculares, para los cuales el momento angular es paralelo al eje de rotación.
Estos ejes se llamanejes principales de inercia y los correspondientes momentos, momentos
principales de inercia.
Si el cuerpo rota alrededor de un eje principal de inercia, la componente del momento angular en
ese eje coincide con el momento total. Entonces, y solo entonces, podremos poner:

L=Iω
3

Cálculo del momento de inercia
En general, podemos considerar que la mayoría de los sólidos rígidos estáncompuestos de un
número muy grande de partículas muy pequeñas. En este caso, el sumatorio que nos da el
momento de inercia de un cuerpo debe reemplazarse por una integral:



I = lím  ∑ mi Ri2  = ∫ R 2 dm
mi → 0
 i
 mt
i →∞
Si ponemos dm = ρ dV, donde ρ es la densidad del cuerpo y V es el volumen, la ecuación
anterior queda:

I = ∫ ρ R 2 dV
Vt

Si el cuerpo es homogéneo, cosaque supondremos la mayoría de las veces,

I = ρ ∫ R 2 dV
Vt

La parte integral es el momento de inercia geométrico, igual para todos los cuerpos con la misma
forma y tamaño. Si multiplicamos por la densidad obtenemos el momento de inercia físico, I.
A veces, consideraremos cuerpos de dos o de una dimensión, como discos o varillas, en este
caso podemos sustituir en la fórmula del momento deinercia, la densidad de volumen por la
correspondiente superficial o lineal, y el volumen por superficie y longitud, respectivamente. Es
decir,

I = ∫ σ R 2 dS
St

I = ∫ λ R 2 dl
lt

4

Cálculo del momento de inercia. Ejemplos
Ejemplo 1: Momento de inercia de un anillo de radio R y masa M
respecto a su eje de revolución:
Si tomamos un elemento de masa, dm, como el de la figura,sabemos que su momento de inercia respecto al eje es:

dI = R 2 dm

R

El momento de inercia total será la integral, a toda la
longitud, L = 2 π R, de los momentos de inercia elementales:

I = ∫ R 2 dm = ∫ R 2 λ dl = R 2 λ ∫ dl = R 2 λ L = M R 2

dm = λ dl

L

L

L

Vemos que, en este caso, el momento de inercia es igual a la masa total por la distancia
al eje al cuadrado....