II P I Ciclo 2012

Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Ecuela de Matem´atica
Departamento de Matem´atica Aplicada

DE C
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A

UNIV

RIC

LU

CE

M ASPIC

IO

II Examen Parcial
2 dejunio 2012

MA1001
C´alculo I

Tiempo: 3 horas
Valor: 70 puntos

Este es un examen de desarrollo. No se permite el uso de calculadoras programables o graficadoras. Todos los
procedimientos y respuestasdeben aparecer en el cuaderno de examen. El uso de l´apiz o corrector podr´ıa afectarle
en caso de reclamos. No use bol´ıgrafo de tinta roja.
1. Considere la funci´on f (x) = (x − 1)2/3
a) Verifiqueque f (0) = f (2)
b) Pruebe que no existe c ∈]0, 2[ tal que f (c) = 0
c) Escriba el teorema de Rolle y justifique cu´al(es) hip´otesis de este no cumple f en [0, 2]

2. Calcule el m´aximo y m´ınimoabsoluto de g(x) =

√
5

3x − x3 en el intervalo

3. Calcule las siguientes integrales indefinidas.
x5
sen2 θ
a)
dx
b)
(csc2 θ − 2 sec2 θ) dx
(x3 + 7)5/2
2

−3 1
, .
2 2

(1 punto)
(3 puntos)
(3 puntos)(7 puntos)

(7 puntos cada una)
c)

θ2 cos(2θ3 − 1) sen3 (2θ3 − 1) dx

4

(4x − x2 ) dx.

4. Use sumas de Riemann para calcular la siguiente integral definida

(7 puntos)

0
n

Recuerde:
i=1

n(n +1)
i=
2

n

i2 =

y
i=1

n(n + 1)(2n + 1)
6

5. La figura adjunta muestra un terreno rectangular de 100 m por 200 m.Se desea instalar una tuber´ıa desde
el v´ertice A hasta el v´ertice C en dos partes,la primera que va desde A hasta cuesta $80 por metro y la
segunda que va desde P hasta C cuesta $45 por metro. Calcule la distancia que debe existir de P hasta C de
tal forma que la instalaci´on de latuber´ıa sea lo m´as barata posible.
(7 puntos)

Segundo examen parcial

2

(x + 1)3
cuya primera y segunda derivada se pueden expresar de
(x − 1)2
(x + 1)2 (x − 5)
24(x + 1)
la siguiente forma f(x) =
y f (x) =
.
3
(x − 1)
(x − 1)4

6. Considere la funci´on f dada por f (x) =

a) Calcule el dominio m´aximo y las intersecciones con los ejes Y y X

(3 puntos)

b) Determine las ecuaciones de las...