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Encontrar la ecuación de la parábola que tiene el eje vertical y pasa por los puntos ( 8; 5), (4; 8) y (16; 7). Solución: Al ser el eje de la parábola vertical, laecuación de la parábola es necesariamente de la forma (x h) = 4a (y
2

k)

donde el vertice esta en (h; k) y el foco está en (h; k + a). Tenemos ahora tres incógnitas: h; ky a. Tenemos tres ecuaciones, una para cada uno de los puntos, ( 8 (4 (16 h) = 4a (5 h) = 4a (8
2 2 2

k) k) k)

h) = 4a ( 7

Que quedan como h2 + 16h h2 h2 8h 20a+ 4ak + 64 = 0 32a + 4ak + 16 = 0

32h + 28a + 4ak + 256

Restando la segunda de la primera, obtenemos 24h + 12a + 48 = 0 24h 60a 240 = 0

Volviendo a restar lasegunda de la primera, nos da 72a + 288 = 0 cuya solución es a= 4

Sustituyendo ahora en la ecuación obtenida más arriba, 24h + 12a + 48 = 0 llegamos a que 24h + 12 ( 4) +48 = 24h = 0 es decir, h = 0: Finalmente sustituyendo en alguna de las primeras, digamos en la primera, h2 + 16h tenemos 20 ( 4) + 4 ( 4) k + 64 = 0 que tiene como solución1 20a + 4ak + 64 = 0

k=9 Así que la parábola tiene vertice en el punto (0; 9) y foco en el punto (0; 5). Sustituyendo los valores de h; k y a en la ecuación (x h) =4a (y
2

k)

llegamos a x2 4 ( 4) (y 9) = x2 + 16y 144 = 0

que es la ecuación de la parábola. A continuación, como comprobación, sustituimos los valores de los trespuntos ( 8; 5), (4; 8) y (16; 7) en la ecuación de la parábola y vemos que la satisfacen: ( 8) + 16 (5) (4) + 16 (8)
2 2 2

144 = 0 144 = 0 144 = 0

(16) + 16 ( 7)Finalmente la grá…ca es
10

y

5

-20

-10

10

20

x

-5

-10

donde hemos puesto con la cruz, el círculo y el rombo a los tres puntos.

2