Imagenes

En el semicírculo de diámetro AB (ver figura), CD es perpendicular a AB. Los semicírculos de diámetros AC y CB y el circulo de diámetro CD determinan las áreas de las regiones sombreadas S1, S2, S3,S4 y S5.
Demostrar que S1 + S2 + S3 = S4 + S5 

 
 

roblema nº 2 LAS LÚNULAS DE HIPÓCRATES DE QUÍOS
Hipócrates de Quíos, contemporáneo de Pericles (siglo V a.c), no pudo cuadrar el círculo,pero llegó a cuadrar cierto tipo de lúnulas como las de la figura, comparando sus áreas con las de los triángulos rectángulos.

Justifica que el área de la parte sombreada es siempre igual a la sumade las áreas de las lúnulas 1 y 2, tras probar que el área del semicírculo sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos.

área 1 = AB·AC/2 + π·(AB/2)2 +π·(AC/2)2
área 2 = π·(BC/2)2
como AB2+AC2 = BC2, entonces área 2 = π·(AB/2)2 + π·(AC/2)2
área 1- área 2 = AB·AC/2 = área Δ ABC
Comentario: se da por supuesto que el centro de la semicircunferenciacircunscrita al triángulo está en el centro del segmento BC. Esto se justifica con el resultado que dice que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita, locual se justifica a su vez con el resultado más general que dice que todo ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca.

Esta figura tiene, entre otras, las propiedades siguientes:1. La longitud del semicírculo construido sobre AB es la suma de los construidos sobre AC y CB.

2. El área del árbelos es igual al área de un círculo de diámetro CD.

3. Si trazamos una rectatangente a los arcos AC y CB, los puntos de tangencia X e Y se encuentran en las rectas AD y BD. Además los segmentos XY y CD se cortan en sus puntos medios.

área

Un círculo con un diámetro deHA es igual en área con los Arbelos
prueba

Si BC = 1 y r = BA, entonces

     En el triángulo BHA: r ^ 2 + h ^ 2 = x ^ 2
     En el triángulo CHA: (1-r) ^ 2 + h ^ 2 = y ^ 2
     En el...