ImpForzado

CAPÍTULO

5
Aplicaciones de ED de segundo orden

5.2.3

Vibraciones forzadas

Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas constantes intrínsecas
al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al sistema. Supondremos en esta sección que
se aplica una fuerza externa llamada de excitación FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (véase
lasiguiente figura):
x0
k
FE
c

m

En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por
F D FR C FA C FE D kx

c

dx
C FE :
dt

Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema.
m

d 2x
D kx
dt 2

c

dx
C FE :
dt

Esta ecuación se puede reescribir como
m

d 2x
dx
Cc
C kx D FE :
dt 2
dt

o bien en la forma:
mx 00 .t/ C cx 0 .t/ C kx.t/ D FE :
1.canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1

(5.1)

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La fuerza de excitación desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues
a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de
excitación puede reducir o aumentar la energía cinética del sistema. Cuando la fuerza de excitación sea
distinta de cero,diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador está forzado.
Hasta este momento la fuerza FE puede ser de cualquier tipo y para determinar sus efectos tendremos que
resolver la ecuación diferencial (5.1) por cualquiera de los métodos estudiados hasta ahora.
Sin embargo, cuando la fuerza FE es del tipo sinusoidal
FE D F0 cos we t;

suelen ocurrir fenómenos físicos de interés. En este caso laecuación por resolver es
mx 00 .t/ C cx 0 .t/ C kx.t/ D F0 cos we t:

La ecuación característica es, entonces:
cuyas raíces son

mr 2 C c r C k D 0;

p
c 2 4mk
r1;2 D
I
2m
y la solución x.t/ dependerá de la relación que exista entre r1;2 y we .
c˙

Vibraciones forzadas, caso c ¤ 0
Consideremos que la fuerza de excitación es una función sinusoidal del tipo FE D F0 cos we t. Claramente,
si c ¤ 0, ninguna delas dos raíces de la ecuación característica es igual a iwe . Entonces de acuerdo con el
método de coeficientes indeterminados, la solución particular es
xp .t/ D A sen we t C B cos we t:

(5.2)

Calculando la primera y segunda derivadas, obtenemos la velocidad y la aceleración de la masa.
xp0 .t/ D vp .t/ D Awe cos we t

xp00 .t/

Awe2

D ap .t/ D

Bwe sen we tI

sen we t

Bwe2 cos we t:

Usandoestos dos resultados en (5.1), la ecuación diferencial de movimiento, se obtiene:
mwe2 ŒA sen we t C B cos we t C cwe ŒA cos we t

B sen we t C k ŒA sen we t C B cos we t D F0 cos we t:

Agrupando términos en las funciones cos we t y sen we t:
mwe2 B C cwe A C kB cos we t C

mwe2 A

cwe B C kA sen we t D F0 cos we t:

Las funciones cos we t y sen we t son linealmente independientes; entonces,para que se satisfaga la condición
anterior, sólo se requiere que
mwe2 B C cwe A C kB
mwe2 A cwe B C kA

cwe A C k mwe2 B
k mwe2 A cwe B

D F0
)
D0

D F0 I
D 0:

Aplicando la regla de Cramer encontramos la solución de este sistema:
F0 k mwe2
0
cwe
D
AD
cwe
k mwe2
k mwe2
cwe
cwe
F0
k mwe2 0
BD
D
cwe
k mwe2
k mwe2
cwe

cwe F0
c 2 we2

k
c 2 we2

k

2
mwe2

mwe2 F0
k

mwe2

2

D

D

cwe F0
k

mwe2k
k

2

C we2 c 2

mwe2 F0

mwe2

2

C we2 c 2

I

:

Ecuaciones diferenciales ordinarias 5

3

Sustituyendo A y B en (5.2), obtenemos una expresión para la solución particular:
xp .t/ D

cwe F0
2

mwe2

k

C w2c2

Ÿ

mwe2 F0

k

sen we t C

mwe2

k

2

C w 2c 2

cos we t:

Ÿ

A

B

Podemos simplificar esta expresión a la forma C sen.we t C /:

A sen we t C B cos.we t/ D xp .t/ D C sen.we t C / DD C Œsen we t cos C sen cos we t D

D .C cos / sen we t C .C sen / cos we t:

Esta igualdad se cumple cuando:
C cos

&

DA

C sen

D B:

De donde se obtiene:
C 2 .cos2

2

C sen

/ D A2 C B 2 ) C 2 D A2 C B 2 ) C D

C sen
C cos

D

B
) tan
A

D

B
)
A

B
A

D arctan

A2 C B 2
:

Además
C 2 D A2 C B 2 D

.k

cwe F0
mwe2/2 C we2c 2

2

.k mwe2/F0
.k mwe2 /2 C we2 c 2

C

Œ.k

.k mwe2/2 F02
c 2...