ImpNewton

CAPÍTULO

3
Aplicaciones de primer orden

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton
Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un medio ambiente que se mantiene a
una temperatura Ta constante, con Ta ¤ T0 , la experiencia nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura
del cuerpo tiende a ser igual a la del medio circundante. Es decir, si T .t/ es la temperatura del cuerpo enel
tiempo t, entonces T .t/ ! Ta cuando t crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue:
En t D 0

En t > 0

T0

T .t /

En t D periodo largo

T .t /

Ta

Ta

Ta

Ta

Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la ley de Enfriamiento de Newton; ésta afirma que la
rapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entreel cuerpo y el medio circundante. Esto es,
T 0 .t/ D kŒT .t/

Ta I

donde k es la constante de proporcionalidad.
Notemos aquí dos situaciones:
1. Cuando T0 > Ta , y por lo mismo T .t/ > Ta , en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene que T .t/
d
d
decrece y que T .t/ Ta > 0, es decir,
T .t/ < 0 y T .t/ Ta > 0, por lo que T .t/ D kŒT .t/ Ta  )
dt
dt
k < 0.
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

12

Ecuaciones diferenciales ordinarias
2. Cuando T0 < Ta , y por lo mismo T .t/ < Ta , en el cuerpo ocurre un calentamiento y se tiene que T .t/
d
d
crece y que T .t/ Ta < 0, es decir,
T .t/ > 0 y T .t/ Ta < 0, por lo que
T .t/ D kŒT .t/ Ta  )
dt
dt
k < 0.

Concretando: sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación diferencial
siempre y cuando k sea negativa (k < 0).
Tenemos entonces que latemperatura T .t/ del cuerpo en el instante t
T 0 .t/ D kŒT .t/

d
T .t/ D kŒT .t/
dt

Ta  tiene sentido

0 está determinada por el PVI:

Ta ; con la condición inicial T .0/ D T0 :

Resolvemos la ecuación diferencial, que es claramente de variables separables:
dT
D kdt )
Ta
dT
D k dt )
)
T Ta
) ln j T Ta j D kt C C1 )

T > Ta ) T Ta > 0 )
) j T Ta j D T Ta :

T

) jT

Ta j D e k t CC1 D e k t e C1 DCe k t )

) jT

Ta j D Ce k t )

) T

Obtenemos lo mismo si:
T < Ta ) T Ta < 0 )
Ta j D Ce k t )

) jT
)

Ta D Ce k t )

)T

) T .t/ D Ta C Ce k t

.T

Ta / D Ce k t )

Ta D Ce k t ) T

Ta D Ce k t :

que es la temperatura del cuerpo en el instante t 0.
Para tener bien determinada la temperatura T .t/, son necesarias dos condiciones adicionales que permitan
calcular valores únicos para lasconstantes C y k. Estas condiciones podrían ser las temperaturas del cuerpo
en dos instantes cualesquiera y una de ellas podría ser la temperatura inicial T0 .
Ejemplo 3.4.1 Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 ı F es depositado (en el tiempo t D 0) en un lugar donde
la temperatura se mantiene a 40 ı F. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 ı F.
1. ¿Cúal es la temperaturadel cuerpo después de 5 min?
2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ı F?
H Si T .t/ es la temperatura del cuerpo en ı F después de t minutos, entonces la ecuación diferencial que
modela a T .t/ es
T 0 .t/ D kŒT .t/ Ta ;
donde Ta D 40 ı F es la temperatura fija del medio circundante.
Las condiciones adicionales son T .0/ D 70 y T .3/ D 60.
Luego, la temperatura T .t/ está dada por lasolución del PVI:
T 0 .t/ D kŒT .t/

40;

con

T .0/ D 70 y además T .3/ D 60:

Resolvamos este problema:
dT
D k.T
dt
Ahora,

dT
dT
D kdt )
D k dt ) ln.T
T 40
T 40
) T 40 D e k t CC ) T .t/ D Ce k t C 40:

40/ )

40/ D kt C C )

T .0/ D 70 , T .0/ D Ce k 0 C 40 D 70 , C C 40 D 70 , C D 30I

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton
por lo que,

3

T .t/ D 30e k t C 40, entonces:
T .3/ D 60 ) 30e k 3 C40 D 60 ) e 3k D
) ln e

3k

Luego,

0:1352 t

T .t/ D 30e

40

30
1
) k D ln
3

2
3

D 3k D ln

60

D

20
2
D
)
30
3

2
3

0:1352 :

C 40:

1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 min?
T .5/ D 30e

0:1352 .5/

55:26 ı F.

C 40 D 55:2594 ) T .5/

2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ı F?
T .t/ D 50 ) 30e
)

0:1352 t

40
10
1
D
D
)
30
30
3
ln 3
1:0986
ln 3 ) t D
D
8:1258...