Importaciones

Programación lineal.Ejercicios resueltos

Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina y 12 unidades vitamina C cada día. Hay dos productos P1 y P2 que en cada frasco contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:
Si el precio de un bote de P1 es de 50 pts. y el de un bote P2 es de 80 pts. averigua cómo deben mezclarse ambos productos para obtenerla dieta deseada con el mínimo precio.
SOLUCIÓN:
Llamamos:       x al número de frascos de P1 que compramos,
                        y al número de frascos de P2 que compramos.
 
Cantidad de vitamina A que contienen los frascos:       4x + y ≥ 4
Cantidad de vitamina B que contienen los frascos:        x + 6y≥ 6
Cantidad de vitamina C que contienen los frascos:       4x + 6y ≥12
 
Luegolas condi-ciones iniciales, o RESTRICCIONES, serán:
   4x + y ≥ 4
   x + 6y ≥ 6
   4x + 6y ≥12
   x≥0
   y≥0
 
La función objetivo es:G(x,y) = 50x +80y

El punto B se obtiene como solución del sistema:        
                        4x+y=4
                        4x+6y=12,      y es B(3/5,8/5) ó B(0'6,1'6)
Y el vértice C se obtiene como solución del sistema: 
            4x+6y=12            x+6y=6       ,  sale: C(2,2/3)
Evaluando la función objetivo en cada uno de los vértices obtenemos: 
A(0,4)        G= 50.0 + 80.4 = 320
B(0,4)        G= 50.3/5 + 80.8/5 = 158
C(2,2/3)     G= 50.2 + 80.2/3 = 153+1/3
D(6,0)        G= 50.6 + 80.0 = 300
Por tanto la solución es    x= 2,  y= 2/3
 

 
 
 
 Un inversionista dispone de 500.000 pts. para invertir en dos tipos de acciones A yB. El tipo A, de bastante riesgo, tiene un interés anual del 10%, y el tipo B, bastante más segura, tiene un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300.000pts en A, y como mínimo 100.000pts en B. Además decide invertir en A por lo menos lo mismo que en B. ¿Cómo debería invertir las 500.000ptas para maximizar sus ganancias anuales?.
SOLUCIÓN.-
Llamamos: x a la cantidad, en pesetas, ainvertir en A.
                        y a la cantidad, en pesetas, a invertir en B.
Entonces las restricciones son:
x+y ≤ 500.000
x ≤300.000
y ≥100.000
x ≥y
x ≥0
y≥ 0
 
Y la función objetivo:G(x,y)= 0'1x + 0'07y
 

 
 

Evaluando los vértices en la función, la solución es:
:G(x,y)= 0'1 100000 + 0'07 100 000=10000+7000=17000
:G(x,y)= 0'1 250000 + 0'07250000=25000+=17000+17500=34500
:G(x,y)= 0'1 300000+ 0'07 200000=30000+14000=44000
:G(x,y)= 0'1 300000+ 0'07 180000=30000+=17000+12600=296000
solución:(300 000, 200 000)
 

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 
1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 eurosen las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos enacciones de tipo B
 
  | inversión | rendimiento |
Tipo A | x | 0,1x |
Tipo B | y | 0,08y |
                                                                                         210000               0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
             
             
R1    
  R2    
  R3    
  R4        
 
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a lasrestricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
         r1                                            r2 (paralela a OY)                      r3(paralela a OX)                           r4
x | y |   | x | y |   | x | y |   | x | y |
0 | 210000 |   | 130000 | 0 |   | 0 | 60000 |   | 0 | 0 |
210000 | 0 |   |   |   |   |   |   |   | 130000 |...